Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2299

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы (

n

--- натуральное число):

Применяя многократное интегрирование по частям, вычислить интеграл Эйлера:

B(m,n)=\int_0^1x^{m-1}(1-x)^{n-1}\,dx,

где

m

n

--- целые положительные числа.

Ответ:

B(m,n)=\dfrac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}, \qquad m,n\in\mathbb N

Решение

При положительных целых

m,n

подынтегральная функция является многочленом и непрерывна на

[0,1]

. Если

n=1

, сразу имеем

B(m,1)=\dfrac1m

Для

n\geqslant2

применяем требуемое многократное интегрирование по частям. На первом шаге выбираем

\begin{aligned} u&=(1-x)^{n-1},&dv&=x^{m-1}\,dx\\[4pt] du&=-(n-1)(1-x)^{n-2}\,dx,&v&=\dfrac{x^m}{m}\end{aligned}

Произведение

\frac{x^m(1-x)^{n-1}}m

равно нулю на обоих концах. Поэтому

\begin{aligned} B(m,n)&=\dfrac{n-1}{m}\int_0^1x^m(1-x)^{n-2}\,dx=\\ &=\dfrac{n-1}{m}B(m+1,n-1)\end{aligned}

На каждом шаге второй индекс уменьшается на единицу, а первый увеличивается на единицу. Например, при

n\geqslant3

второй шаг даёт

\begin{aligned} B(m,n)&=\dfrac{n-1}{m}B(m+1,n-1)=\\ &=\dfrac{n-1}{m}\cdot\dfrac{n-2}{m+1}B(m+2,n-2)\end{aligned}

При

n\geqslant4

следующие числители последовательно принимают значения

n-3,\ldots,1

, а знаменатели —

m+2,\ldots,m+n-2

. При

n=3

второй шаг уже заканчивается интегралом

B(m+2,1)

, а при

n=2

достаточно первого шага. В общем случае через

n-1

шагов второй индекс станет равным

1

, и получим

B(m,n)=\dfrac{(n-1)!}{m(m+1)\cdots(m+n-2)}B(m+n-1,1)

Последний интеграл элементарен:

B(m+n-1,1)=\int_0^1x^{m+n-2}\,dx=\dfrac1{m+n-1}

С учётом этого последнего множителя в знаменателе стоит полное произведение

m(m+1)\cdots(m+n-1)=\dfrac{(m+n-1)!}{(m-1)!}

Значит,

B(m,n)=\dfrac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}

При

n=1

эта формула также даёт

\frac1m

, поскольку

0!=1