Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2306

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти неопределённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2306

∫x[x] dx\displaystyle\int x[x]\,dx (x≥0)(x\ge0).
Ответ:∫x[x] dx=k2x2−k(k+1)(2k+1)12+C,k=[x],x⩾0\int x[x]\,dx
=\dfrac k2x^2-\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{12}+C,
\qquad k=[x],\quad x\geqslant0Производная равна x[x]x[x] при положительных нецелых xx; в положительных целых точках она не существует. В нуле правая производная равна 00.

Решение

Как и для интеграла от [x][x], положим k=[x]k=[x]. Тогда k⩽x<k+1k\leqslant x<k+1, а на каждом [j,j+1)[j,j+1) имеем [t]=j[t]=j. Разбиваем интеграл на полные единичные отрезки и оставшуюся часть:∫0xt[t] dt=∑j=0k−1∫jj+1jt dt+∫kxkt dt==∑j=0k−1j2((j+1)2−j2)+k2(x2−k2)==∑j=0k−1(j2+j2)+k2(x2−k2)\begin{aligned}
\int_0^x t[t]\,dt
&=\sum_{j=0}^{k-1}\int_j^{j+1}jt\,dt+\int_k^x kt\,dt=\\
&=\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac j2\bigl((j+1)^2-j^2\bigr)
+\dfrac k2(x^2-k^2)=\\
&=\sum_{j=0}^{k-1}\left(j^2+\dfrac j2\right)
+\dfrac k2(x^2-k^2)
\end{aligned}Выведем формулы для двух сумм, чтобы вычисление не зависело от запоминания готовой суммы квадратов. При k⩾1k\geqslant1 обозначимS1=∑j=0k−1jS2=∑j=0k−1j2\begin{aligned}
S_1&=\sum_{j=0}^{k-1}j\\
S_2&=\sum_{j=0}^{k-1}j^2
\end{aligned}Запишем первую сумму в обратном порядке и сложим две записи: каждая пара j+(k−1−j)j+(k-1-j) равна k−1k-1, а пар ровно kk. Поэтому2S1=k(k−1),S1=k(k−1)22S_1=k(k-1),
\qquad S_1=\dfrac{k(k-1)}2Для квадратов используем тождество(j+1)3−j3=3j2+3j+1(j+1)^3-j^3=3j^2+3j+1Суммируем при j=0,1,…,k−1j=0,1,\ldots,k-1. В левой части промежуточные кубы сокращаются: остаётся k3−03k^3-0^3. В правой части получаются 3S23S_2, 3S13S_1 и сумма kk единиц. Значит,k3=3S2+3S1+kS2=k3−3S1−k3=k(k−1)(2k−1)6\begin{aligned}
k^3&=3S_2+3S_1+k\\
S_2&=\dfrac{k^3-3S_1-k}{3}
=\dfrac{k(k-1)(2k-1)}6
\end{aligned}Подставляем найденные суммы и приводим постоянные относительно xx слагаемые к общему знаменателю:∫0xt[t] dt=k(k−1)(2k−1)6+k(k−1)4+k2(x2−k2)==k2x2+2k(k−1)(2k−1)+3k(k−1)−6k312==k2x2−k(k+1)(2k+1)12\begin{aligned}
\int_0^x t[t]\,dt
&=\dfrac{k(k-1)(2k-1)}6+\dfrac{k(k-1)}4
+\dfrac k2(x^2-k^2)=\\
&=\dfrac k2x^2
+\dfrac{2k(k-1)(2k-1)+3k(k-1)-6k^3}{12}=\\
&=\dfrac k2x^2-\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{12}
\end{aligned}При k=0k=0 обе суммы пустые и формула даёт нуль. Интеграл непрерывен, что следует и из его определения как интеграла ограниченной на каждом конечном отрезке функции.

На открытом промежутке (k,k+1)(k,k+1) число kk постоянно, поэтому производная найденного выражения равна kx=x[x]kx=x[x]. В положительной целой точке kk левая производная равна k(k−1)k(k-1), а правая — k2k^2; они различны.
Демидович № 2306 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика