Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2295

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2295

∫0πsin⁡n−1xcos⁡(n+1)x dx\displaystyle\int_0^\pi\sin^{n-1}x\cos(n+1)x\,dx.
Ответ:0,n∈N0,
\qquad n\in\mathbb N

Решение

Чтобы найти первообразную, сначала раскроем косинус суммы:sin⁡n−1xcos⁡((n+1)x)=sin⁡n−1xcos⁡xcos⁡nx−sin⁡nxsin⁡nx\sin^{n-1}x\cos((n+1)x)
=\sin^{n-1}x\cos x\cos nx-\sin^nx\sin nxВ первом слагаемом sin⁡n−1xcos⁡x=1n(sin⁡nx)′\sin^{n-1}x\cos x=\frac1n(\sin^nx)', а во втором −sin⁡nx=1n(cos⁡nx)′-\sin nx=\frac1n(\cos nx)'. Это две части правила производной произведения, поэтому проверим именно произведение sin⁡nxcos⁡nx\sin^nx\cos nx:ddx(sin⁡nxcos⁡nx)=nsin⁡n−1xcos⁡xcos⁡nx−nsin⁡nxsin⁡nx==nsin⁡n−1x(cos⁡xcos⁡nx−sin⁡xsin⁡nx)==nsin⁡n−1xcos⁡((n+1)x)\begin{aligned}
\dfrac d{dx}\bigl(\sin^nx\cos nx\bigr)
&=n\sin^{n-1}x\cos x\cos nx-n\sin^nx\sin nx=\\
&=n\sin^{n-1}x\bigl(\cos x\cos nx-\sin x\sin nx\bigr)=\\
&=n\sin^{n-1}x\cos((n+1)x)
\end{aligned}Последний переход является формулой косинуса суммы углов xx и nxnx. Поскольку n⩾1n\geqslant1, можно разделить на nn: первообразная равнаF(x)=1nsin⁡nxcos⁡nxF(x)=\dfrac1n\sin^nx\cos nxНа концах sin⁡0=sin⁡π=0\sin0=\sin\pi=0, поэтому∫0πsin⁡n−1xcos⁡((n+1)x) dx=[1nsin⁡nxcos⁡nx]0π=0\int_0^\pi\sin^{n-1}x\cos((n+1)x)\,dx
=\left[\dfrac1n\sin^nx\cos nx\right]_0^\pi=0
Демидович № 2295 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика