Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2308

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти неопределённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2308

∫0xf(t) dt\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt, где f(x)={1,если ∣x∣<l,0,если ∣x∣>l.\displaystyle f(x)=\begin{cases}1,&\text{если }|x|\lt l,\\0,&\text{если }|x|>l.\end{cases}
Ответ:При l⩽0l\leqslant0 интеграл равен 00. Неуказанные значения ff на границе можно выбрать любыми конечными; результат от них не зависит. При l>0l>0:∫0xf(t) dt={−l,x<−lx,∣x∣⩽ll,x>l\int_0^x f(t)\,dt
=\begin{cases}
-l,&x<-l\\[4pt]
x,&|x|\leqslant l\\[4pt]
l,&x>l
\end{cases}

Решение

Сначала пусть l>0l>0. Значения ff в точках t=±lt=\pm l в условии не заданы. Им можно придать любые конечные значения: изменение функции в двух точках не влияет на интеграл. На (−l,l)(-l,l) функция равна 11, а за пределами этого промежутка равна нулю.

Если 0⩽x⩽l0\leqslant x\leqslant l, интегрируем единицу:∫0xf(t) dt=∫0x1 dt=x\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^x1\,dt=xЕсли −l⩽x<0-l\leqslant x<0, меняем порядок пределов:∫0xf(t) dt=−∫x01 dt=−(0−x)=x\int_0^x f(t)\,dt
=-\int_x^0 1\,dt
=-(0-x)=xПри x>lx>l разбиваем интеграл в точке ll, а при x<−lx<-l сначала меняем порядок пределов и разбиваем его в точке −l-l:x>l:∫0xf(t) dt=∫0l1 dt+∫lx0 dt=lx<−l:∫0xf(t) dt=−(∫x−l0 dt+∫−l01 dt)=−l\begin{aligned}
x>l:\quad
\int_0^x f(t)\,dt
&=\int_0^l1\,dt+\int_l^x0\,dt=l\\
x<-l:\quad
\int_0^x f(t)\,dt
&=-\left(\int_x^{-l}0\,dt+\int_{-l}^01\,dt\right)=-l
\end{aligned}На участках, где f=0f=0, длина промежутка не влияет на результат. Таким образом,∫0xf(t) dt={−l,x<−lx,−l⩽x⩽ll,x>l(l>0)\int_0^x f(t)\,dt
=\begin{cases}
-l,&x<-l\\[4pt]
x,&-l\leqslant x\leqslant l\\[4pt]
l,&x>l
\end{cases}
\qquad(l>0)Значения соседних формул при x=±lx=\pm l совпадают, так что результат непрерывен. Его производная равна 11 внутри (−l,l)(-l,l) и 00 вне [−l,l][-l,l], а в точках ±l\pm l обычной производной нет из-за разных соседних наклонов.

Если знак параметра ll отдельно не оговорён, нужно учесть и l⩽0l\leqslant0. При l<0l<0 неравенство ∣t∣>l|t|>l выполняется всюду, поэтому ff тождественно равна нулю. При l=0l=0 она равна нулю вне единственной точки t=0t=0, значение в которой можно задать произвольно конечным. В обоих случаях интеграл равен нулю при любом xx.
Демидович № 2308 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика