Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2309

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

\displaystyle\int_0^3\operatorname{sgn}(x-x^3)\,dx

Ответ:

-1

Решение

Разложим выражение под знаком

\operatorname{sgn}

на множители:

x-x^3=x(1-x)(1+x)

На рассматриваемом отрезке

[0,3]

множитель

1+x

положителен, а при

x>0

положителен и множитель

x

. Поэтому знак произведения определяется множителем

1-x

\operatorname{sgn}(x-x^3)= \begin{cases} 1,&0<x<1\\ -1,&1<x\leqslant3\\ 0,&x=0\text{ или }x=1 \end{cases}

Значения в двух точках

0

1

не меняют интеграла. Разбиваем отрезок в точке смены знака:

\begin{aligned} \int_0^3\operatorname{sgn}(x-x^3)\,dx &=\int_0^1 1\,dx+\int_1^3(-1)\,dx=\\ &=1-(3-1)=-1\end{aligned}