Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2289

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра

n

, принимающего целые положительные значения:

Показать, что

\int_a^be^{(\alpha+i\beta)x}\,dx=\frac{e^{b(\alpha+i\beta)}-e^{a(\alpha+i\beta)}}{\alpha+i\beta}

(

\alpha

\beta

--- постоянные).

Доказано:

\int_a^b e^{(\alpha+i\beta)x}\,dx =\begin{cases} \dfrac{e^{b(\alpha+i\beta)}-e^{a(\alpha+i\beta)}}{\alpha+i\beta}, &\alpha+i\beta\ne0\\[6pt] b-a,&\alpha+i\beta=0 \end{cases}

Доказательство

Обозначим комплексный параметр через

\lambda=\alpha+i\beta

Сначала предполагаем

\lambda\ne0

, поскольку в указанной формуле требуется деление на это число. Правило дифференцирования экспоненты даёт

\dfrac d{dx}\left(\dfrac{e^{\lambda x}}\lambda\right)=e^{\lambda x}

Для действительных

\alpha,\beta

это правило можно проверить без обращения к дифференцированию по комплексной переменной. По формуле Эйлера обозначим

E(x)=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x) =e^{(\alpha+i\beta)x}

Дифференцируем по действительному

x

\begin{aligned} E'(x)&=e^{\alpha x}\bigl(\alpha(\cos\beta x+i\sin\beta x)\\ &\qquad+\beta(-\sin\beta x+i\cos\beta x)\bigr)=\\ &=(\alpha+i\beta)E(x)\end{aligned}

Теперь применим формулу Ньютона--Лейбница отдельно к действительной и мнимой частям:

\int_a^b e^{(\alpha+i\beta)x}\,dx =\dfrac{e^{b(\alpha+i\beta)}-e^{a(\alpha+i\beta)}}{\alpha+i\beta}

При действительных

\alpha,\beta

нулевой параметр означает

\lambda=0\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha=\beta=0

Подынтегральная функция тогда равна единице, поэтому

\int_a^b1\,dx=b-a

Этот случай записываем отдельно: дробь из условия при нулевом знаменателе не определена.

Что и требовалось доказать