Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2294

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь формулами Эйлера:

\displaystyle\int_0^\pi\sin^nx\sin nx\,dx

Ответ:

\int_0^\pi\sin^nx\sin nx\,dx =\begin{cases} 0,&n\text{ чётное}\\[4pt] (-1)^{\frac{n-1}{2}}\dfrac\pi{2^n},&n\text{ нечётное} \end{cases}, \qquad n\in\mathbb N

Решение

Обозначим искомый интеграл через

I

. При раскрытии степени используем коэффициенты бинома

\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},\qquad k=0,1,\ldots,n

Применим формулы Эйлера к обоим синусам:

\begin{aligned} \sin^nx&=\dfrac1{(2i)^n}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk e^{i(n-2k)x}\\ \sin nx&=\dfrac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\end{aligned}

Первое равенство получено раскрытием

(e^{ix}-e^{-ix})^n

по биному. При выборе

k

множителей

-e^{-ix}

n-k

множителей

e^{ix}

возникает знак

(-1)^k

, а показатели экспонент складываются:

(e^{ix})^{n-k}(-e^{-ix})^k=(-1)^k e^{i(n-2k)x}

Число одинаковых слагаемых равно

\binom nk

. Умножая найденную сумму на формулу для

\sin nx

, получаем

\sin^nx\sin nx =\dfrac1{(2i)^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk \left(e^{2i(n-k)x}-e^{-2ikx}\right)

Все ненулевые частоты имеют вид

2j

с целым

j\ne0

, и

\int_0^\pi e^{2ijx}\,dx =\left[\dfrac{e^{2ijx}}{2ij}\right]_0^\pi=0

В первой экспоненте постоянное слагаемое возникает при

k=n

с коэффициентом

(-1)^n

. Во второй оно возникает при

k=0

с коэффициентом

-1

, поскольку перед ней стоит минус. Значит,

I=\dfrac{\pi\bigl((-1)^n-1\bigr)}{(2i)^{n+1}}

Если

n

чётно, числитель равен нулю.

Если

n=2r+1

нечётно, то

i^{n+1}=i^{2r+2}=(-1)^{r+1}

I=\dfrac{-2\pi}{2^{n+1}(-1)^{r+1}} =(-1)^r\dfrac\pi{2^n}

Хотя вычисление проведено с комплексными экспонентами, итог в обоих случаях действительный, как и исходный интеграл.