Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2312

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

\displaystyle\int_0^\pi x\operatorname{sgn}(\cos x)\,dx

Ответ:

-\dfrac{\pi^2}{4}

Решение

Функция

\operatorname{sgn}y

обозначает знак числа: положительному числу соответствует

1

, отрицательному —

-1

, нулю —

0

. На данном отрезке знак косинуса меняется в точке

\frac\pi2

\operatorname{sgn}(\cos x)= \begin{cases} 1,&0\le x<\frac\pi2\\ 0,&x=\frac\pi2\\ -1,&\frac\pi2<x\le\pi \end{cases}

Значение знаковой функции в точке

x=\frac\pi2

на результат не влияет. Поэтому интеграл разбивается на две части:

\begin{aligned} I &=\int_0^{\frac\pi2}x\,dx-\int_{\frac\pi2}^{\pi}x\,dx=\\ &=\dfrac12\left(\dfrac\pi2\right)^2 -\dfrac12\left(\pi^2-\left(\dfrac\pi2\right)^2\right)=-\dfrac{\pi^2}{4}\end{aligned}