Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2314

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2314

∫01sgn⁡[sin⁡(ln⁡x)] dx\displaystyle\int_0^1\operatorname{sgn}[\sin(\ln x)]\,dx.
Ответ:−1−e−π1+e−π-\dfrac{1-e^{-\pi}}{1+e^{-\pi}}

Решение

Здесь sgn⁡[sin⁡(ln⁡x)]\operatorname{sgn}[\sin(\ln x)] означает знак выражения sin⁡(ln⁡x)\sin(\ln x). В точке x=0x=0 логарифм не определён; интеграл понимаем как предел при стремлении нижней границы к нулю справа.

Для абсолютной сходимости достаточно ограниченности модуля:∣sgn⁡[sin⁡(ln⁡x)]∣≤1,0<x≤1∫011 dx=1<+∞\begin{gathered}
\left|\operatorname{sgn}[\sin(\ln x)]\right|\le1,
\qquad 0<x\le1\\
\int_0^1 1\,dx=1<+\infty
\end{gathered}Переведём колебания логарифма в равные промежутки заменой:t=−ln⁡x,x=e−t,dx=−e−t dtx→0+ ⟹ t→+∞,x=1 ⟹ t=0\begin{gathered}
t=-\ln x,\qquad x=e^{-t},\qquad dx=-e^{-t}\,dt\\
x\to0^+\ \Longrightarrow\ t\to+\infty,\qquad
x=1\ \Longrightarrow\ t=0
\end{gathered}Так как sin⁡(−t)=−sin⁡t\sin(-t)=-\sin t, получаемI=−∫0+∞sgn⁡(sin⁡t)e−t dtI=-\int_0^{+\infty}\operatorname{sgn}(\sin t)e^{-t}\,dtНа промежутке kπ<t<(k+1)πk\pi<t<(k+1)\pi знак синуса равен (−1)k(-1)^k. Интеграл экспоненты по одному такому промежутку равен∫kπ(k+1)πe−t dt=[−e−t]kπ(k+1)π=e−kπ(1−e−π)\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-t}\,dt
=[-e^{-t}]_{k\pi}^{(k+1)\pi}
=e^{-k\pi}(1-e^{-\pi})После умножения на знак (−1)k(-1)^k получаем общий член геометрической прогрессии со знаменателем −e−π-e^{-\pi}. ПоэтомуI=−∑k=0∞(−1)k∫kπ(k+1)πe−t dt==−(1−e−π)∑k=0∞(−e−π)k==−1−e−π1+e−π\begin{aligned}
I
&=-\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-t}\,dt=\\
&=-(1-e^{-\pi})\sum_{k=0}^{\infty}(-e^{-\pi})^k=\\
&=-\dfrac{1-e^{-\pi}}{1+e^{-\pi}}
\end{aligned}Суммирование законно: сумма интегралов модулей равна ∫0+∞e−t dt=1\int_0^{+\infty}e^{-t}\,dt=1. Геометрическая прогрессия сходится, поскольку e−π<1e^{-\pi}<1.
Демидович № 2314 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика