Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2284

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра nn, принимающего целые положительные значения:

Задача 2284

In=∫01(1−x2)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx.
Ответ:In=(2n)!!(2n+1)!!=22n(n!)2(2n+1)!,n∈NI_n=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
=\dfrac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!},
\qquad n\in\mathbb N

Решение

Для n⩾1n\geqslant1 проинтегрируем по частям, чтобы после дифференцирования уменьшилась степень 1−x21-x^2:u=(1−x2)n,dv=dxdu=−2nx(1−x2)n−1 dx,v=x\begin{aligned}
u&=(1-x^2)^n,&dv&=dx\\[4pt]
du&=-2nx(1-x^2)^{n-1}\,dx,&v&=x
\end{aligned}Граничное произведение x(1−x2)nx(1-x^2)^n равно нулю при x=0x=0 и x=1x=1. ПоэтомуIn=2n∫01x2(1−x2)n−1 dxI_n=2n\int_0^1 x^2(1-x^2)^{n-1}\,dxИспользуем x2=1−(1−x2)x^2=1-(1-x^2). Тогдаx2(1−x2)n−1=(1−x2)n−1−(1−x2)nx^2(1-x^2)^{n-1}=(1-x^2)^{n-1}-(1-x^2)^nСледовательно,In=2n(In−1−In),In=2n2n+1In−1I_n=2n(I_{n-1}-I_n),
\qquad I_n=\dfrac{2n}{2n+1}I_{n-1}Начальное вспомогательное значение равно I0=∫01dx=1I_0=\int_0^1dx=1. Повторяя формулу, получаемIn=2n2n+1⋅2n−22n−1⋯23=(2n)!!(2n+1)!!I_n=\dfrac{2n}{2n+1}\cdot\dfrac{2n-2}{2n-1}\cdots\dfrac23
=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}Здесь двойные факториалы означают произведения соответственно чётных и нечётных чисел. Перейдём к обычным факториалам:(2n)!!=2nn!(2n+1)!!=(2n+1)!2nn!\begin{aligned}
(2n)!!&=2^n n!\\
(2n+1)!!&=\dfrac{(2n+1)!}{2^n n!}
\end{aligned}Вторая формула получается отделением чётных множителей из (2n+1)!(2n+1)!. Подстановка даёт ещё одну запись того же результата.
Демидович № 2284 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика