Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2315

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2315

Найти ∫E∣cos⁡x∣sin⁡x dx\displaystyle\int_E|\cos x|\sqrt{\sin x}\,dx, где EE --- множество тех значений сегмента [0,4π][0,4\pi], для которых подынтегральное выражение имеет смысл.
Ответ:E=[0,π]∪[2π,3π]∪{4π},∫E∣cos⁡x∣sin⁡x dx=83E=[0,\pi]\cup[2\pi,3\pi]\cup\{4\pi\},\qquad
\int_E|\cos x|\sqrt{\sin x}\,dx=\dfrac83

Решение

Квадратный корень имеет действительное значение тогда и только тогда, когда sin⁡x≥0\sin x\ge0. В пределах заданного отрезка это даёт множествоE=[0,π]∪[2π,3π]∪{4π}E=[0,\pi]\cup[2\pi,3\pi]\cup\{4\pi\}Изолированная точка 4π4\pi не даёт вклада в интеграл. На двух отрезках функция повторяется с периодом 2π2\pi, поэтому достаточно вычислить интеграл по [0,π][0,\pi] и удвоить результат.

На первой половине этого отрезка cos⁡x≥0\cos x\ge0, а на второй cos⁡x≤0\cos x\le0. В каждой части используемu=sin⁡x,du=cos⁡x dxu=\sin x,\qquad du=\cos x\,dxОбратные ветви различаются; вместе с изменением новых пределов они имеют вид0≤x≤π2:x=arcsin⁡u,u:0⟶1π2≤x≤π:x=π−arcsin⁡u,u:1⟶0\begin{array}{lll}
0\le x\le\frac\pi2:&x=\arcsin u,&u:0\longrightarrow1\\
\frac\pi2\le x\le\pi:&x=\pi-\arcsin u,&u:1\longrightarrow0
\end{array}Поэтому∫0π∣cos⁡x∣sin⁡x dx=∫0π2cos⁡xsin⁡x dx−∫π2πcos⁡xsin⁡x dx==∫01u du−∫10u du=2∫01u du==2[23u32]01=43\begin{aligned}
\int_0^\pi|\cos x|\sqrt{\sin x}\,dx
&=\int_0^{\frac\pi2}\cos x\sqrt{\sin x}\,dx
-\int_{\frac\pi2}^{\pi}\cos x\sqrt{\sin x}\,dx=\\
&=\int_0^1\sqrt u\,du-\int_1^0\sqrt u\,du
=2\int_0^1\sqrt u\,du=\\
&=2\left[\dfrac23u^{\frac32}\right]_0^1=\dfrac43
\end{aligned}Следовательно,∫E∣cos⁡x∣sin⁡x dx=2⋅43=83\int_E|\cos x|\sqrt{\sin x}\,dx=2\cdot\dfrac43=\dfrac83
Демидович № 2315 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика