Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2301

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2301

Пусть функция f(x)f(x) собственно интегрируема на [a,b][a,b] и F(x)F(x) --- функция такая, что F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) всюду в [a,b][a,b], за исключением, быть может, конечного числа внутренних точек cic_i (i=1,…,p)(i=1,\dots,p) и точек aa и bb, где функция F(x)F(x) терпит разрыв 1-го рода («обобщённая первообразная»). Доказать, что∫abf(x) dx=F(b−0)−F(a+0)−∑i=1p[F(ci+0)−F(ci−0)].\int_a^bf(x)\,dx=F(b-0)-F(a+0)-\sum_{i=1}^p[F(c_i+0)-F(c_i-0)].
Доказано:∫abf(x) dx=F(b−0)−F(a+0)−∑i=1p(F(ci+0)−F(ci−0))\int_a^b f(x)\,dx
=F(b-0)-F(a+0)
-\sum_{i=1}^{p}\bigl(F(c_i+0)-F(c_i-0)\bigr)При p=0p=0 сумма равна нулю.

Доказательство

Расположим внутренние точки разрыва по возрастанию: a<c1<⋯<cp<ba<c_1<\cdots<c_p<b. Для единообразной записи положимc0=a,cp+1=bc_0=a,\qquad c_{p+1}=bОбозначения F(ci−0)F(c_i-0) и F(ci+0)F(c_i+0) означают пределы слева и справа; они существуют по условию о разрывах первого рода. На каждом открытом промежутке (cj,cj+1)(c_j,c_{j+1}) функция FF дифференцируема и F′=fF'=f.

Возьмём ε>0\varepsilon>0 настолько малым, чтобы cj+ε<cj+1−εc_j+\varepsilon<c_{j+1}-\varepsilon. На этом укороченном отрезке применима обычная формула Ньютона — Лейбница:∫cj+εcj+1−εf(x) dx=F(cj+1−ε)−F(cj+ε)\int_{c_j+\varepsilon}^{c_{j+1}-\varepsilon}f(x)\,dx
=F(c_{j+1}-\varepsilon)-F(c_j+\varepsilon)Поскольку ff собственно интегрируема, она ограничена: ∣f(x)∣⩽M|f(x)|\leqslant M для некоторого MM. Суммарный вклад двух отброшенных отрезков по модулю не превосходит 2Mε2M\varepsilon и стремится к нулю. Поэтому при ε→0+\varepsilon\to0^+ получаем∫cjcj+1f(x) dx=F(cj+1−0)−F(cj+0),j=0,1,…,p\int_{c_j}^{c_{j+1}}f(x)\,dx
=F(c_{j+1}-0)-F(c_j+0),
\qquad j=0,1,\ldots,pСкладываем эти равенства. У каждой внутренней точки появляется значение слева со знаком плюс и значение справа со знаком минус:∫abf(x) dx=∑j=0p(F(cj+1−0)−F(cj+0))==F(b−0)−F(a+0)−∑i=1p(F(ci+0)−F(ci−0))\begin{aligned}
\int_a^b f(x)\,dx
&=\sum_{j=0}^{p}\bigl(F(c_{j+1}-0)-F(c_j+0)\bigr)=\\
&=F(b-0)-F(a+0)
-\sum_{i=1}^{p}\bigl(F(c_i+0)-F(c_i-0)\bigr)
\end{aligned}Разность F(ci+0)−F(ci−0)F(c_i+0)-F(c_i-0) называется скачком функции в точке cic_i. Формула вычитает из разности крайних пределов все внутренние скачки. Сами значения F(ci)F(c_i) в неё не входят: на интегралы по соседним промежуткам влияют односторонние пределы. Если скачков нет, остаётся обычная формула Ньютона — Лейбница с предельными значениями на концах.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2301 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика