Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2288

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра

n

, принимающего целые положительные значения:

Пользуясь формулой Эйлера

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

показать, что

\int_0^{2\pi}e^{inx}e^{-imx}\,dx=\begin{cases}0,&\text{если }m\ne n,\\2\pi,&\text{если }m=n\end{cases}

(

n

m

--- целые).

Доказано:

\int_0^{2\pi}e^{inx}e^{-imx}\,dx =\begin{cases} 0,&m\ne n\\ 2\pi,&m=n \end{cases}, \qquad m,n\in\mathbb Z

Доказательство

Обозначим разность целых индексов через

k=n-m,\qquad e^{inx}e^{-imx}=e^{ikx}

Интеграл комплексной функции вычисляется отдельно для действительной и мнимой частей; здесь

i^2=-1

. По требуемой формуле Эйлера

e^{ikx}=\cos kx+i\sin kx

Если индексы равны, то частота равна нулю:

m=n\ \Longrightarrow\ k=0,\qquad e^{ikx}=1

Поэтому в этом случае

\int_0^{2\pi}1\,dx=2\pi

Если

m\ne n

, то

k

является ненулевым целым числом. Интегрируя синус и косинус, получаем

\int_0^{2\pi}e^{ikx}\,dx =\left[\dfrac{\sin kx}{k}-i\dfrac{\cos kx}{k}\right]_0^{2\pi}=0

Последнее равенство следует из

\sin(2\pi k)=0

\cos(2\pi k)=1

: значения первообразной на концах одинаковы. Это верно и для отрицательного целого

k

Что и требовалось доказать