Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2310

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

\displaystyle\int_0^2[e^x]\,dx

Ответ:

14-\ln5040

Решение

Целая часть

[e^x]

меняется, когда экспонента проходит через целое число. На рассматриваемом отрезке

e^0=1,\qquad e^2\approx7{,}389

Поэтому подынтегральная функция принимает значения

1,2,\ldots,7

. Точки смены значения находим из равенства

e^x=k\quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln k

Именно в точках

\ln2,\ldots,\ln7

нужно разбить интеграл.

Целая часть равна

k

именно тогда, когда

k\leqslant e^x<k+1

. Экспонента и логарифм возрастают, поэтому для положительного целого

k

k\leqslant e^x<k+1 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln k\leqslant x<\ln(k+1)

Отсюда на

[\ln k,\ln(k+1))

функция

[e^x]

равна

k

при

k=1,\ldots,6

; на

[\ln7,2]

она равна

7

. Значения в точках скачков не влияют на интеграл, поэтому

\begin{aligned} \int_0^2[e^x]\,dx &=\sum_{k=1}^{6}k\bigl(\ln(k+1)-\ln k\bigr) +7(2-\ln7)=\\ &=14+\sum_{k=1}^{6}k\ln(k+1) -\sum_{k=1}^{6}k\ln k-7\ln7\end{aligned}

Рассмотрим коэффициент при каждом

\ln j

. Для

2\leqslant j\leqslant6

первая сумма даёт

j-1

, а вторая —

-j

; при

j=7

учитываем ещё последнее слагаемое. В обоих случаях коэффициент равен

-1

\begin{aligned} (j-1)-j&=-1,\qquad 2\leqslant j\leqslant6\\ 6-7&=-1\end{aligned}

Член с

\ln1

равен нулю. Следовательно,

\begin{aligned} \int_0^2[e^x]\,dx &=14-\sum_{j=2}^{7}\ln j=\\ &=14-\ln(2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7)=\\ &=14-\ln5040\end{aligned}