Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1028

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1028

Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть
функция снова периодическая с тем же периодом.
Доказано:Если TT — период дифференцируемой функции ff, то
f′(x+T)=f′(x)f'(x+T)=f'(x), то есть TT является периодом её производной.

Доказательство

Идея

Пусть T≠0T\ne0 — период функции ff. Тогда для всех допустимых
xx
f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)Дифференцируя тождество по xx, получаемf′(x+T)=f′(x)f'(x+T)=f'(x)

Проверка

Следовательно, TT является периодом производной. Если TT —
наименьший положительный период непостоянной функции ff, то он
является и наименьшим положительным периодом f′f'. Действительно,
если τ>0\tau>0 — период f′f', то функция
f(x+τ)−f(x)f(x+\tau)-f(x) имеет нулевую производную и потому равна некоторой
постоянной CC.
Поскольку ff дифференцируема, она непрерывна, а непрерывная
периодическая функция ограничена. Поэтому равенство
f(x+nτ)=f(x)+nCf(x+n\tau)=f(x)+nC возможно при всех n∈Nn\in\mathbb N только
при C=0C=0. Значит, τ\tau является также периодом ff.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1028 — решение и ответ