Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1028

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть
функция снова периодическая с тем же периодом.

Доказано:Если

T

— период дифференцируемой функции

f

, то

f'(x+T)=f'(x)

, то есть

T

является периодом её производной.

Доказательство

Пусть

T\ne0

— период функции

f

. Тогда для всех допустимых

x

f(x+T)=f(x)

Дифференцируя тождество по

x

, получаем

f'(x+T)=f'(x)

Проверка

Следовательно, всякий период исходной функции является периодом её производной. Именно это и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать