Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1026

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1026

Пользуясь тождеством

\begin{aligned} \cos\frac x2\cos\frac x4\cdots\cos\frac{x}{2^n} &=\frac{\sin x}{2^n\sin\dfrac{x}{2^n}} \end{aligned}

вывести формулу для суммы:

S_n=\frac12\operatorname{tg}\frac x2+\frac14\operatorname{tg}\frac x4+\cdots+ \frac1{2^n}\operatorname{tg}\frac{x}{2^n}

Ответ:При

x\notin\pi\mathbb Z

имеем

S_n=\dfrac1{2^n}\operatorname{ctg}\dfrac{x}{2^n}-\operatorname{ctg} x

; при

x=2^n\pi m

m\in\mathbb Z

, имеем

S_n=0

. При остальных

x\in\pi\mathbb Z

исходная сумма не определена.

Решение

Идея

На промежутке, где все множители и дроби определены и не равны нулю,
прологарифмируем модули обеих частей данного тождества и
продифференцируем его. Получаем

1
$\begin{aligned} -\sum_{k=1}^n\frac1{2^k}\operatorname{tg}\frac{x}{2^k} &=\operatorname{ctg} x-\frac1{2^n}\operatorname{ctg}\frac{x}{2^n} \end{aligned}$ $S_n=\frac1{2^n}\operatorname{ctg}\frac{x}{2^n}-\operatorname{ctg} x, \qquad x\notin\pi\mathbb Z$
2
Теперь рассмотрим кратные числа $\pi$ . Если
$x=2^n\pi m$ , где $m\in\mathbb Z$ , то для каждого
$k=1,2,\ldots,n$ $\begin{aligned} \operatorname{tg}\frac{x}{2^k} &=\operatorname{tg}\left(2^{n-k}\pi m\right)=0 \end{aligned}$
3
Следовательно, в этих точках исходная сумма определена и равна нулю.
Остальные кратные числа $\pi$ имеют вид $x=(2m+1)2^{k-1}\pi, \qquad m\in\mathbb Z, \quad k=1,2,\ldots,n$

Проверка

В такой точке слагаемое с соответствующим номером

k

не определено,
поскольку

\dfrac{x}{2^k}=\dfrac\pi2+\pi m