Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1026

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1026

Пользуясь тождествомcos⁡x2cos⁡x4⋯cos⁡x2n=sin⁡x2nsin⁡x2n\begin{aligned}
\cos\frac x2\cos\frac x4\cdots\cos\frac{x}{2^n} &=\frac{\sin x}{2^n\sin\dfrac{x}{2^n}}
\end{aligned}вывести формулу для суммы:Sn=12tg⁡x2+14tg⁡x4+⋯+12ntg⁡x2nS_n=\frac12\operatorname{tg}\frac x2+\frac14\operatorname{tg}\frac x4+\cdots+
\frac1{2^n}\operatorname{tg}\frac{x}{2^n}
Ответ:При x∉πZx\notin\pi\mathbb Z имеем
Sn=12nctg⁡x2n−ctg⁡xS_n=\dfrac1{2^n}\operatorname{ctg}\dfrac{x}{2^n}-\operatorname{ctg} x; при
x=2nπmx=2^n\pi m, m∈Zm\in\mathbb Z, имеем Sn=0S_n=0. При остальных
x∈πZx\in\pi\mathbb Z исходная сумма не определена.

Решение

На промежутке, где все множители и дроби определены и не равны нулю,
прологарифмируем модули обеих частей данного тождества и
продифференцируем его. Получаем
−∑k=1n12ktg⁡x2k=ctg⁡x−12nctg⁡x2n\begin{aligned}
-\sum_{k=1}^n\frac1{2^k}\operatorname{tg}\frac{x}{2^k} &=\operatorname{ctg} x-\frac1{2^n}\operatorname{ctg}\frac{x}{2^n}
\end{aligned}Sn=12nctg⁡x2n−ctg⁡x,x∉πZS_n=\frac1{2^n}\operatorname{ctg}\frac{x}{2^n}-\operatorname{ctg} x,
\qquad x\notin\pi\mathbb Z
Теперь рассмотрим кратные числа π\pi. Если
x=2nπmx=2^n\pi m, где m∈Zm\in\mathbb Z, то для каждого
k=1,2,…,nk=1,2,\ldots,ntg⁡x2k=tg⁡(2n−kπm)=0\begin{aligned}
\operatorname{tg}\frac{x}{2^k} &=\operatorname{tg}\left(2^{n-k}\pi m\right)=0
\end{aligned}
Следовательно, в этих точках исходная сумма определена и равна нулю.
Остальные кратные числа π\pi имеют видx=(2m+1)2k−1π,m∈Z,k=1,2,…,nx=(2m+1)2^{k-1}\pi,
\qquad
m\in\mathbb Z,
\quad
k=1,2,\ldots,n

Проверка

В такой точке слагаемое с соответствующим номером kk не определено,
поскольку x2k=π2+πm\dfrac{x}{2^k}=\dfrac\pi2+\pi m.
Демидович № 1026 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика