Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1029

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С какой скоростью возрастает площадь круга в тот момент, когда радиус
этого круга

R=10

см, если радиус круга растёт равномерно со
скоростью

2\,\dfrac{\text{см}}{\text{с}}

Ответ:Площадь круга возрастает со скоростью

40\pi\,\dfrac{\text{см}^2}{\text{с}}

Решение

Идея

Площадь круга и скорость её изменения задаются формулами

S=\pi R^2, \qquad \frac{dS}{dt}=2\pi R\frac{dR}{dt}

В указанный момент

R=10

см и

\dfrac{dR}{dt}=2\,\dfrac{\text{см}}{\text{с}}

\begin{aligned} \frac{dS}{dt} &=2\pi\cdot10\cdot2=40\pi\,\frac{\text{см}^2}{\text{с}} \end{aligned}

Проверка

Так как

\dfrac{dS}{dt}>0

, площадь круга возрастает.