Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1032

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1032

Пустьf(x)={x,0⩽x⩽22x−2,2<x<+∞f(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & 2<x<+\infty
\end{cases}и S(x)S(x) — площадь, ограниченная кривой y=f(x)y=f(x), осью OxOx
и перпендикуляром к оси OxOx, проведённым в точке xx
(x⩾0)(x\geqslant0).

Составить аналитическое выражение функции S(x)S(x), найти производную
S′(x)S'(x) и построить график функции y=S′(x)y=S'(x).
ПостроениеS(x)={x22,0⩽x⩽2x2−2x+2,x>2S′(x)={x,0⩽x⩽22x−2,x>2S(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2\\[1mm]
x^2-2x+2, & x>2
\end{cases}
\qquad
S'(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & x>2
\end{cases}

Построение

Идея

При x⩾0x\geqslant0 обе ветви функции ff неотрицательны, поэтому
S(x)S(x) равна площади под графиком ff от 00 до xx.
  1. 1
    Если 0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant2, тоS(x)=∫0xt dt=x22S(x)=\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}Если x>2x>2, разбиваем площадь в точке смены формулы:S(x)=S(x)\mathrel{=}∫02t dt+∫2x(2t−2) dt=\int_0^2 t\,dt+\int_2^x(2t-2)\,dt\mathrel{=}2+(t2−2t)∣2x=2+\bigl(t^2-2t\bigr)\bigm|_2^x\mathrel{=}x2−2x+2x^2-2x+2В точке x=2x=2 обе формулы дают значение 22, поэтомуS(x)={x22,0⩽x⩽2x2−2x+2,x>2S(x)=
    \begin{cases}
    \dfrac{x^2}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2\\[1mm]
    x^2-2x+2, & x>2
    \end{cases}    Дифференцируя на внутренних промежутках, получаемS′(x)={x,0<x<22x−2,x>2S'(x)=
    \begin{cases}
    x, & 0<x<2\\
    2x-2, & x>2
    \end{cases}    В точке x=2x=2 левая и правая производные равны 22, так что
    S′(2)=2S'(2)=2. На левом конце области определения правая производная
    равна нулю. Следовательно,S′(x)={x,0⩽x⩽22x−2,x>2S'(x)=
    \begin{cases}
    x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
    2x-2, & x>2
    \end{cases}    Для x>0x>0 равенство S′(x)=f(x)S'(x)=f(x) непосредственно следует из
    формулы Ньютона–Лейбница. В точке x=0x=0 правая производная была
    проверена отдельно.
  2. 2

    Построение графика

    График S′S' состоит из отрезка прямой
    y=xy=x от (0,0)(0,0) до (2,2)(2,2) и луча прямой y=2x−2y=2x-2,
    выходящего из той же точки. В точке x=2x=2 ветви соединяются
    непрерывно, но их угловые коэффициенты различны.график к задаче Демидовича № 1032

Проверка

Ответ.S(x)={x22,0⩽x⩽2x2−2x+2,x>2S′(x)={x,0⩽x⩽22x−2,x>2S(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2\\[1mm]
x^2-2x+2, & x>2
\end{cases}
\qquad
S'(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & x>2
\end{cases}
Демидович № 1032 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика