Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1032

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1032

Пустьf(x)={x,0⩽x⩽22x−2,2<x<+∞f(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & 2<x<+\infty
\end{cases}и S(x)S(x) — площадь, ограниченная кривой y=f(x)y=f(x), осью OxOx
и перпендикуляром к оси OxOx, проведённым в точке xx
(x⩾0)(x\geqslant0).

Составить аналитическое выражение функции S(x)S(x), найти производную
S′(x)S'(x) и построить график функции y=S′(x)y=S'(x).
ПостроениеS(x)={x22,0⩽x⩽2x2−2x+2,x>2S′(x)={x,0⩽x⩽22x−2,x>2S(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2\\[1mm]
x^2-2x+2, & x>2
\end{cases}
\qquad
S'(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & x>2
\end{cases}

Построение

При x⩾0x\geqslant0 обе ветви функции ff неотрицательны, поэтому
S(x)S(x) равна площади под графиком ff от 00 до xx.
Если 0⩽x⩽20\leqslant x\leqslant2, фигура под графиком — прямоугольный треугольник с катетами xx и xx. ПоэтомуS(x)=x⋅x2=x22.S(x)=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^2}{2}.Если x>2x>2, к треугольнику площади 22/2=22^2/2=2 добавляется трапеция. Её параллельные стороны имеют длины f(2)=2f(2)=2 и f(x)=2x−2f(x)=2x-2, расстояние между ними равно x−2x-2. ПолучаемS(x)=2+2+(2x−2)2(x−2)=2+x(x−2)=x2−2x+2.S(x)=2+\frac{2+(2x-2)}2(x-2)=2+x(x-2)=x^2-2x+2.В точке x=2x=2 обе формулы дают значение 22, поэтомуS(x)={x22,0⩽x⩽2x2−2x+2,x>2S(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2\\[1mm]
x^2-2x+2, & x>2
\end{cases}Дифференцируя на внутренних промежутках, получаемS′(x)={x,0<x<22x−2,x>2S'(x)=
\begin{cases}
x, & 0<x<2\\
2x-2, & x>2
\end{cases}В точке x=2x=2 левая и правая производные равны 22, так что
S′(2)=2S'(2)=2. На левом конце области определения правая производная
равна нулю. Следовательно,S′(x)={x,0⩽x⩽22x−2,x>2S'(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & x>2
\end{cases}Таким образом, прямое дифференцирование найденных площадей даёт S′(x)=f(x)S'(x)=f(x) при x>0x>0. В точке 00 речь идёт о правой производной.

Построение графика

График S′S' состоит из отрезка прямой
y=xy=x от (0,0)(0,0) до (2,2)(2,2) и луча прямой y=2x−2y=2x-2,
выходящего из той же точки. В точке x=2x=2 ветви соединяются
непрерывно, но их угловые коэффициенты различны.график к задаче Демидовича № 1032

Ответ

S(x)={x22,0⩽x⩽2x2−2x+2,x>2S′(x)={x,0⩽x⩽22x−2,x>2S(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2\\[1mm]
x^2-2x+2, & x>2
\end{cases}
\qquad
S'(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & x>2
\end{cases}
Демидович № 1032 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика