Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1024

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1024

Вывести формулы для сумм:

\begin{aligned} \text{а) }P_n&=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\\ Q_n&=1^2+2^2x+3^2x^2+\cdots+n^2x^{n-1} \end{aligned}

Указание. Рассмотреть

(x+x^2+\cdots+x^n)'

\begin{aligned} \text{б) }S_n&=\sin x+\sin2x+\cdots+\sin nx\\ T_n&=\cos x+2\cos2x+\cdots+n\cos nx \end{aligned}

Ответ:Если

x\ne2\pi m

m\in\mathbb Z

, то

Решение

1
Пункт а)
Положим $A_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n$ При $x\ne1$ $A_n(x)=\frac{x(1-x^n)}{1-x}$
2
Так как $P_n=A_n'$ , после дифференцирования получаем $P_n=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$
3
Далее $Q_n=(xP_n)'$ Поэтому при $x\ne1$ $Q_n=\frac{ 1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2} }{(1-x)^3}$ При $x=1$ значения сумм находятся непосредственно и приведены в
ответе. $\begin{aligned} P_n&=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}, && x\ne1\\ Q_n&=\frac{ 1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2} }{(1-x)^3}, && x\ne1\\ P_n&=\frac{n(n+1)}2, \qquad Q_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, && x=1 \end{aligned}$
4
Пункт б)
Используем тождество $\begin{aligned} 2\sin\frac x2\sin kx &=\cos\left(k-\frac12\right)x -\cos\left(k+\frac12\right)x \end{aligned}$ Суммируя его при $k=1,2,\ldots,n$ , получаем телескопическую сумму: $\begin{aligned} 2\sin\frac x2\,S_n &=\cos\frac x2-\cos\left(n+\frac12\right)x \end{aligned}$
5
Следовательно, если $x\ne2\pi m$ , $m\in\mathbb Z$ , то $S_n=\frac{ \sin\dfrac{nx}2\sin\dfrac{(n+1)x}2 }{\sin\dfrac x2}$ Поскольку $T_n=S_n'$ , дифференцирование найденной формулы даёт $T_n=\frac{ (n+1)\cos nx-n\cos(n+1)x-1 }{2(1-\cos x)}$ При $x=2\pi m$ значения исходных сумм равны $S_n=0, \qquad T_n=\frac{n(n+1)}2$ $S_n=\frac{ \sin\dfrac{nx}2\sin\dfrac{(n+1)x}2 }{\sin\dfrac x2}$ $T_n=\frac{ (n+1)\cos nx-n\cos(n+1)x-1 }{2(1-\cos x)}$ При $x=2\pi m$

Проверка

S_n=0, \qquad T_n=\frac{n(n+1)}2