Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1022

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1022

Пусть ограниченная функция f(x)f(x) дифференцируема в интервале
(x0,+∞)(x_0,+\infty) и существуетlim⁡x→∞f′(x)\lim_{x\to\infty}f'(x)Следует ли отсюда, что существуетlim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x)конечный или бесконечный?

Рассмотреть пример f(x)=cos⁡(ln⁡x)f(x)=\cos(\ln x).
Ответ:Нет. У ограниченной функции
f(x)=cos⁡(ln⁡x)f(x)=\cos(\ln x) производная стремится к нулю, но сама функция
предела при x→+∞x\to+\infty не имеет.

Решение

Идея

Функция f(x)=cos⁡(ln⁡x)f(x)=\cos(\ln x) ограничена на (0,+∞)(0,+\infty). Её
производная равна
f′(x)=−sin⁡(ln⁡x)xf'(x)=-\frac{\sin(\ln x)}xПоэтому∣f′(x)∣⩽1x,lim⁡x→+∞f′(x)=0|f'(x)|\leqslant\frac1x,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0Однако для последовательностейxn=e2πn,yn=e(2n+1)πx_n=e^{2\pi n},
\qquad
y_n=e^{(2n+1)\pi}имеемf(xn)=1,f(yn)=−1f(x_n)=1,
\qquad
f(y_n)=-1

Проверка

Значит, предела f(x)f(x) при x→+∞x\to+\infty не существует.
Демидович № 1022 — решение и ответ