Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1027

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1027

Доказать, что производная чётной дифференцируемой функции есть функция
нечётная, а производная нечётной дифференцируемой функции есть функция
чётная.

Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
Доказано:Производная чётной функции нечётна, а производная нечётной
функции чётна. Это соответствует симметрии касательных соответственно
относительно оси OyOy и начала координат.

Доказательство

Пусть область определения функции симметрична относительно нуля.
Если ff чётна, тоf(−x)=f(x)f(-x)=f(x)Дифференцируя это тождество по xx, получаем−f′(−x)=f′(x)-f'(-x)=f'(x)то есть f′(−x)=−f′(x)f'(-x)=-f'(x), и производная нечётна.
Если ff нечётна, тоf(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)После дифференцирования имеем−f′(−x)=−f′(x)-f'(-x)=-f'(x)
Следовательно, f′(−x)=f′(x)f'(-x)=f'(x), и производная чётна.

Проверка

Геометрически график чётной функции симметричен относительно оси
OyOy, поэтому угловые коэффициенты касательных в точках с
абсциссами xx и −x-x противоположны. График нечётной функции
симметричен относительно начала координат, поэтому эти угловые
коэффициенты равны.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1027 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика