Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1027

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1027

Доказать, что производная чётной дифференцируемой функции есть функция
нечётная, а производная нечётной дифференцируемой функции есть функция
чётная.

Дать геометрическую интерпретацию этого факта.

Доказано:Производная чётной функции нечётна, а производная нечётной
функции чётна. Это соответствует симметрии касательных соответственно
относительно оси

Oy

и начала координат.

Доказательство

Идея

Пусть область определения функции симметрична относительно нуля.

1
Если $f$ чётна, то $f(-x)=f(x)$ Дифференцируя это тождество по $x$ , получаем $-f'(-x)=f'(x)$ то есть $f'(-x)=-f'(x)$ , и производная нечётна.
2
Если $f$ нечётна, то $f(-x)=-f(x)$ После дифференцирования имеем $-f'(-x)=-f'(x)$
3
Следовательно, $f'(-x)=f'(x)$ , и производная чётна.

Проверка

Геометрически график чётной функции симметричен относительно оси

Oy

, поэтому угловые коэффициенты касательных в точках с
абсциссами

x

-x

противоположны. График нечётной функции
симметричен относительно начала координат, поэтому эти угловые
коэффициенты равны.

Что и требовалось доказать