Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1023

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1023

Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями?
ВыводНет, неравенство между дифференцируемыми функциями в общем
случае нельзя дифференцировать почленно.

Решение

Идея

В общем случае нельзя. Например, на всей числовой прямой выполнено
неравенство
0⩽x20\leqslant x^2Но в точке x=−1x=-1 производные его левой и правой частей равны0и2x∣x=−1=−20
\qquad\text{и}\qquad
2x\bigm|_{x=-1}=-2

Проверка

Поэтому после почленного дифференцирования получилось бы неверное
неравенство 0⩽−20\leqslant-2.
Демидович № 1023 — решение и ответ