Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1033

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1033

Функция S(x)S(x) есть площадь, ограниченная дугой окружностиy=a2−x2y=\sqrt{a^2-x^2}осью OxOx и двумя перпендикулярами к оси OxOx, проведёнными в
точках 00 и xx (∣x∣⩽a)(|x|\leqslant a).

Составить аналитическое выражение функции S(x)S(x), найти производную
S′(x)S'(x) и построить график этой производной.
ПостроениеS(x)=∣x∣2a2−x2+a22arcsin⁡∣x∣aS(x)=
\frac{|x|}{2}\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{|x|}{a}При 0<∣x∣⩽a0<|x|\leqslant aS′(x)=sgn⁡xa2−x2S'(x)=\operatorname{sgn} x\sqrt{a^2-x^2}а при x=0x=0 производная не существует.
На концах x=−ax=-a и x=ax=a производные понимаются соответственно справа и слева.

Построение

Считаем a>0a>0. Геометрическая площадь не зависит от того, справа или слева от нуля расположена точка xx, поэтому SS чётна. При 0⩽x⩽a0\leqslant x\leqslant a обозначим P=(x,a2−x2)P=(x,\sqrt{a^2-x^2}), Q=(x,0)Q=(x,0), O=(0,0)O=(0,0), B=(0,a)B=(0,a). Фигура под дугой BPBP состоит из сектора BOPBOP и прямоугольного треугольника OPQOPQ.

Угол сектора α=arcsin⁡(x/a)\alpha=\arcsin(x/a), поэтому его площадь равна a2α/2a^2\alpha/2. Площадь треугольника равна xa2−x2/2x\sqrt{a^2-x^2}/2. Складывая и учитывая чётность, получаемS(x)=∣x∣2a2−x2+a22arcsin⁡∣x∣a.S(x)=\frac{|x|}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{|x|}{a}.При x=±ax=\pm a первое слагаемое равно нулю, а второе — (a2/2)(π/2)=πa2/4(a^2/2)(\pi/2)=\pi a^2/4.
При 0<x<a0<x<a дифференцируем полученное выражение:S′(x)=12a2−x2−x22a2−x2+a22a2−x2=12a2−x2+a2−x22a2−x2=a2−x2.S'(x)=\frac12\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}
=\frac12\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2-x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}
=\sqrt{a^2-x^2}.Для −a<x<0-a<x<0 чётность SS даёт S′(x)=−a2−x2S'(x)=-\sqrt{a^2-x^2} (№1027).

Проверим нуль. При 0<h<a0<h<a площадь полосы заключена между площадями двух прямоугольников:ha2−h2⩽S(h)⩽ha.h\sqrt{a^2-h^2}\leqslant S(h)\leqslant ha.Деля на hh и переходя к пределу, получаем S+′(0)=aS'_+(0)=a. Из чётности SS следует S−′(0)=−aS'_-(0)=-a, поэтому двусторонней производной нет.

На правом конце отрезка, при 0<h<a0<h<a,0⩽S(a)−S(a−h)⩽ha2−(a−h)2.0\leqslant S(a)-S(a-h)\leqslant h\sqrt{a^2-(a-h)^2}.После деления на hh правая граница стремится к нулю. Значит, S−′(a)=0S'_-(a)=0. По чётности также S+′(−a)=0S'_+(-a)=0. Это односторонние производные на концах области определения.

Построение графика

Для универсального рисунка введём координатыu=xa,V=S′(x)au=\frac{x}{a},
\qquad
V=\frac{S'(x)}{a}Тогда левая ветвь является нижней левой четвертью единичной окружности
при −1⩽u<0-1\leqslant u<0, а правая ветвь --- верхней правой четвертью
при 0<u⩽10<u\leqslant1. Точки (0,−1)(0,-1) и (0,1)(0,1) выколоты, поскольку
производной в нуле нет. Исходный график получается растяжением обеих
осей в aa раз.график к задаче Демидовича № 1033

Ответ

S(x)=∣x∣2a2−x2+a22arcsin⁡∣x∣aS(x)=
\frac{|x|}{2}\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{|x|}{a}При 0<∣x∣⩽a0<|x|\leqslant aS′(x)=sgn⁡xa2−x2S'(x)=\operatorname{sgn} x\sqrt{a^2-x^2}а при x=0x=0 производная не существует.
На концах x=−ax=-a и x=ax=a производные понимаются соответственно справа и слева.
Демидович № 1033 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика