Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1033

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1033

Функция S(x)S(x) есть площадь, ограниченная дугой окружностиy=a2−x2y=\sqrt{a^2-x^2}осью OxOx и двумя перпендикулярами к оси OxOx, проведёнными в
точках 00 и xx (∣x∣⩽a)(|x|\leqslant a).

Составить аналитическое выражение функции S(x)S(x), найти производную
S′(x)S'(x) и построить график этой производной.
ПостроениеS(x)=∣x∣2a2−x2+a22arcsin⁡∣x∣aS(x)=
\frac{|x|}{2}\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{|x|}{a}При 0<∣x∣⩽a0<|x|\leqslant aS′(x)=sgn⁡xa2−x2S'(x)=\operatorname{sgn} x\sqrt{a^2-x^2}а при x=0x=0 производная не существует.

Построение

Идея

Считаем a>0a>0. Площадь не зависит от того, справа или слева от нуля
расположена точка xx, поэтому функция SS чётная:S(x)=∫0∣x∣a2−t2 dtS(x)=\int_0^{|x|}\sqrt{a^2-t^2}\,dtИспользуем первообразную∫a2−t2 dt=t2a2−t2+a22arcsin⁡ta\int\sqrt{a^2-t^2}\,dt
=\frac{t}{2}\sqrt{a^2-t^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{t}{a}и получаемS(x)=∣x∣2a2−x2+a22arcsin⁡∣x∣a,∣x∣⩽aS(x)=
\frac{|x|}{2}\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{|x|}{a},
\qquad |x|\leqslant aВ частности,S(−a)=S(a)=πa24S(-a)=S(a)=\frac{\pi a^2}{4}
  1. 1
    При x>0x>0 по формуле Ньютона–ЛейбницаS′(x)=a2−x2S'(x)=\sqrt{a^2-x^2}При x<0x<0 ту же площадь удобно записать в видеS(x)=∫x0a2−t2 dtS(x)=\int_x^0\sqrt{a^2-t^2}\,dtПо формуле Ньютона–ЛейбницаS′(x)=−a2−x2S'(x)=-\sqrt{a^2-x^2}Таким образом, при 0<∣x∣<a0<|x|<aS′(x)=sgn⁡xa2−x2S'(x)=\operatorname{sgn} x\sqrt{a^2-x^2}В нуле односторонние производные различны:S−′(0)=−a,S+′(0)=aS'_-(0)=-a,
    \qquad
    S'_+(0)=a    поэтому S′(0)S'(0) не существует. На концах отрезка односторонняя
    производная равна нулю: S′(−a)=S′(a)=0S'(-a)=S'(a)=0.
  2. 2

    Построение графика

    Для универсального рисунка введём координатыu=xa,V=S′(x)au=\frac{x}{a},
    \qquad
    V=\frac{S'(x)}{a}    Тогда левая ветвь является нижней левой четвертью единичной окружности
    при −1⩽u<0-1\leqslant u<0, а правая ветвь — верхней правой четвертью
    при 0<u⩽10<u\leqslant1. Точки (0,−1)(0,-1) и (0,1)(0,1) выколоты, поскольку
    производной в нуле нет. Исходный график получается растяжением обеих
    осей в aa раз.график к задаче Демидовича № 1033

Проверка

Ответ.S(x)=∣x∣2a2−x2+a22arcsin⁡∣x∣aS(x)=
\frac{|x|}{2}\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{|x|}{a}При 0<∣x∣⩽a0<|x|\leqslant aS′(x)=sgn⁡xa2−x2S'(x)=\operatorname{sgn} x\sqrt{a^2-x^2}а при x=0x=0 производная не существует.
Демидович № 1033 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика