Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1030

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С какой скоростью изменяются площадь и диагональ прямоугольника в тот
момент, когда одна сторона его

x=20

м, а другая сторона

y=15

м,
если одна сторона прямоугольника уменьшается со скоростью

1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

, а другая возрастает со скоростью

2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

Ответ:Площадь возрастает со скоростью

25\,\dfrac{\text{м}^2}{\text{с}}

.

Диагональ возрастает со скоростью

\dfrac25\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

Решение

Будем считать, что уменьшается сторона

x

, а возрастает сторона

y

. Тогда

\frac{dx}{dt}=-1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}, \qquad \frac{dy}{dt}=2\,\frac{\text{м}}{\text{с}}

Площадь прямоугольника

S=xy

, поэтому

\displaystyle \frac{dS}{dt}\mathrel{=}

Обозначим диагональ через

d

. Из равенства

d^2=x^2+y^2

после дифференцирования по времени получаем

\begin{aligned} d'(t) &=\frac{x\dfrac{dx}{dt}+y\dfrac{dy}{dt}}d \end{aligned}

В рассматриваемый момент

d=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\,\text{м}

Проверка

\begin{aligned} d'(t) &=\frac{20\cdot(-1)+15\cdot2}{25} =\frac25\,\frac{\text{м}}{\text{с}} \end{aligned}