Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1025

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Вывести формулу для суммы:

S_n=\operatorname{ch}x+2\operatorname{ch}(2x)+\cdots +n\operatorname{ch}(nx)

Указание.

S_n=(\operatorname{sh}x+\operatorname{sh}(2x)+\cdots +\operatorname{sh}(nx))'

Решение

1
Обозначим $H_n=\operatorname{sh}x+\operatorname{sh}(2x)+\cdots +\operatorname{sh}(nx)$ $\begin{aligned} 2\operatorname{sh}\frac x2\operatorname{sh}(kx) &=\operatorname{ch}\left(kx+\frac x2\right) -\operatorname{ch}\left(kx-\frac x2\right) \end{aligned}$ после суммирования следует $H_n=\frac{ \operatorname{sh}\dfrac{nx}2 \operatorname{sh}\dfrac{(n+1)x}2 }{\operatorname{sh}\dfrac x2}, \qquad (x\ne0)$
2
Так как $S_n=H_n'$ , дифференцирование и упрощение дают $S_n=\frac{ n\operatorname{ch}((n+1)x) -(n+1)\operatorname{ch}(nx)+1 }{2(\operatorname{ch}x-1)}, \qquad (x\ne0)$ При $x=0$ исходная сумма равна $S_n(0)=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$

Проверка

S_n=\begin{cases} \dfrac{ n\operatorname{ch}((n+1)x) -(n+1)\operatorname{ch}(nx)+1 }{2(\operatorname{ch}x-1)}, & x\ne0\\[3mm] \dfrac{n(n+1)}2, & x=0 \end{cases}