Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1025

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вывести формулу для суммы:

S_n=\operatorname{ch}x+2\operatorname{ch}(2x)+\cdots +n\operatorname{ch}(nx)

Указание.

S_n=(\operatorname{sh}x+\operatorname{sh}(2x)+\cdots +\operatorname{sh}(nx))'

Ответ:

S_n=\begin{cases} \dfrac{ n\operatorname{ch}((n+1)x) -(n+1)\operatorname{ch}(nx)+1 }{2(\operatorname{ch}x-1)}, & x\ne0\\[3mm] \dfrac{n(n+1)}2, & x=0 \end{cases}

Решение

Обозначим

H_n=\operatorname{sh}x+\operatorname{sh}(2x)+\cdots +\operatorname{sh}(nx)

\begin{aligned} 2\operatorname{sh}\frac x2\operatorname{sh}(kx) &=\operatorname{ch}\left(kx+\frac x2\right) -\operatorname{ch}\left(kx-\frac x2\right) \end{aligned}

после суммирования следует

H_n=\frac{ \operatorname{sh}\dfrac{nx}2 \operatorname{sh}\dfrac{(n+1)x}2 }{\operatorname{sh}\dfrac x2}, \qquad (x\ne0)

Положим

v=x/2

w=(n+1/2)x

. Из той же телескопической суммы

H_n=\frac{\operatorname{ch}w-\operatorname{ch}v}{2\operatorname{sh}v}.

По правилу частного, поскольку

v'=1/2

w'=(2n+1)/2

H_n'=\frac{(2n+1)\operatorname{sh}w\operatorname{sh}v-\operatorname{sh}^2v-(\operatorname{ch}w-\operatorname{ch}v)\operatorname{ch}v}{4\operatorname{sh}^2v}.

Разность

\operatorname{ch}^2v-\operatorname{sh}^2v

равна

1

, а формулы произведений дают

(2n+1)\operatorname{sh}w\operatorname{sh}v-\operatorname{ch}w\operatorname{ch}v =n\operatorname{ch}(w+v)-(n+1)\operatorname{ch}(w-v).

Подставляем

w+v=(n+1)x

w-v=nx

4\operatorname{sh}^2v=2(\operatorname{ch}x-1)

. Так как

S_n=H_n'

, получаем

S_n=\frac{ n\operatorname{ch}((n+1)x) -(n+1)\operatorname{ch}(nx)+1 }{2(\operatorname{ch}x-1)}, \qquad (x\ne0)

При

x=0

исходная сумма равна

S_n(0)=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2

Проверка

S_n=\begin{cases} \dfrac{ n\operatorname{ch}((n+1)x) -(n+1)\operatorname{ch}(nx)+1 }{2(\operatorname{ch}x-1)}, & x\ne0\\[3mm] \dfrac{n(n+1)}2, & x=0 \end{cases}