Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2334

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2334

∫a+∞dxx2\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^2} (a>0)(a>0).
Ответ:1a,a>0\dfrac1a,\qquad a>0

Решение

По определению несобственного интеграла заменяем верхнюю границу конечным числом R>aR>a и затем устремляем его к бесконечности:∫a+∞dxx2=lim⁡R→+∞∫aRx−2 dx=lim⁡R→+∞[−1x]aR==lim⁡R→+∞(1a−1R)=1a\begin{aligned}
\int_a^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2}
&=\lim_{R\to+\infty}\int_a^R x^{-2}\,dx
=\lim_{R\to+\infty}\left[-\dfrac1x\right]_a^R=\\
&=\lim_{R\to+\infty}\left(\dfrac1a-\dfrac1R\right)=\dfrac1a
\end{aligned}Условие a>0a>0 исключает особую точку x=0x=0 из промежутка интегрирования.
Демидович № 2334 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика