Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2339

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+x+1)^2}

Ответ:

\dfrac{4\pi}{3\sqrt3}

Решение

Выделим полный квадрат:

x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0

Особых точек на числовой прямой нет. Поведение на двух бесконечных концах проверяем отношением к

|x|^{-4}

\lim_{|x|\to\infty}\dfrac{|x|^4}{(x^2+x+1)^2}=1

Интеграл от

|x|^{-4}

на каждом бесконечном хвосте конечен, поскольку показатель

-4

меньше

-1

. По предельному сравнению исходный интеграл сходится. Нормируем квадрат заменой

t=\dfrac{2x+1}{\sqrt3},\qquad x=\dfrac{\sqrt3\,t-1}{2},\qquad dx=\dfrac{\sqrt3}{2}\,dt

Обе бесконечные границы сохраняются. Сначала преобразуется квадратный трёхчлен, а затем его квадрат:

x^2+x+1=\dfrac34(1+t^2),\qquad (x^2+x+1)^2=\dfrac9{16}(1+t^2)^2

Множитель

\frac{\sqrt3}{2}

из дифференциала делим на

\frac9{16}

из знаменателя:

\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac9{16}}=\dfrac8{3\sqrt3}

Поэтому

I=\dfrac8{3\sqrt3}\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{dt}{(1+t^2)^2}

В последнем интеграле положим

t=\tg u,\qquad u=\arctg t,\qquad dt=\dfrac{du}{\cos^2u}

Пределы переходят в

-\frac\pi2

\frac\pi2

. Из тождества

1+\tg^2u=\frac1{\cos^2u}

получаем

\dfrac{dt}{(1+t^2)^2} =\dfrac{\frac{du}{\cos^2u}}{\frac1{\cos^4u}} =\cos^2u\,du

По формуле половинного угла

\cos^2u=\dfrac{1+\cos2u}{2},\qquad \int\cos^2u\,du=\dfrac u2+\dfrac{\sin2u}{4}+C

Следовательно,

\begin{aligned} I &=\dfrac8{3\sqrt3}\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^2u\,du=\\ &=\dfrac8{3\sqrt3} \left[\dfrac u2+\dfrac{\sin2u}{4}\right]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} =\dfrac{4\pi}{3\sqrt3}\end{aligned}