Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2354

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\int_E e^{-x/2}\frac{|\sin x-\cos x|}{\sqrt{\sin x}}\,dx,

где

E

--- множество тех значений

x

интервала

(0,+\infty)

, для которых подынтегральное выражение имеет смысл.

Ответ:

E=\bigcup_{k=0}^{\infty}(2k\pi,(2k+1)\pi),\qquad I=\dfrac{4e^{-\frac\pi8}} {2^{\frac14}(1-e^{-\pi})}

Решение

Корень находится в знаменателе, поэтому необходимо строгое неравенство

\sin x>0

. Множество допустимых значений имеет вид

E=\bigcup_{k=0}^{\infty}(2k\pi,(2k+1)\pi)

Обозначим вклад каждого допустимого промежутка через

J_k=\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \dfrac{e^{-\frac x2}|\sin x-\cos x|}{\sqrt{\sin x}}\,dx, \qquad k=0,1,2,\ldots

Каждый такой интеграл понимаем как сумму двух односторонних пределов у концов промежутка. Сначала найдём

J_0

; его конечность подтвердит сходимость этих пределов.

Разность

\cos x-\sin x

возникает при дифференцировании произведения экспоненты и корня из синуса. Это подсказывает ввести на

(0,\pi)

функцию

G(x)=e^{-\frac x2}\sqrt{\sin x}

По правилу произведения и правилу производной корня получаем

\begin{aligned} G'(x) &=-\dfrac12e^{-\frac x2}\sqrt{\sin x} +e^{-\frac x2}\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}=\\ &=\dfrac{e^{-\frac x2}(\cos x-\sin x)}{2\sqrt{\sin x}}\end{aligned}

Следовательно, подынтегральная функция на этом промежутке равна

2|G'(x)|

. Знаменатель и экспонента положительны, поэтому знак

G'

определяется разностью

\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)

Разность имеет разные знаки по сторонам точки

\frac\pi4

. Следовательно,

\begin{aligned} G'(x)&>0,\qquad 0<x<\dfrac\pi4\\ G'(x)&<0,\qquad \dfrac\pi4<x<\pi\end{aligned}

Функция

G

возрастает до

x=\frac\pi4

, затем убывает. Её значения в особых концах понимаем по пределам:

\lim_{x\to0^+}G(x)=0,\qquad \lim_{x\to\pi^-}G(x)=0

Разделим интеграл в точке максимума; на первой части

|G'|=G'

, на второй

|G'|=-G'

. Получаем

\begin{aligned} J_0 &=2\int_0^{\frac\pi4}G'(x)\,dx -2\int_{\frac\pi4}^{\pi}G'(x)\,dx=\\ &=4G\left(\dfrac\pi4\right) =\dfrac{4e^{-\frac\pi8}}{2^{\frac14}}\end{aligned}

Эта вычисленная конечная величина одновременно доказывает сходимость у обоих концов первого промежутка. На промежутке с номером

k

положим

x=t+2k\pi,\qquad t=x-2k\pi,\qquad dx=dt,\qquad 0<t<\pi

Тригонометрические множители повторяются, а экспонента приобретает множитель

e^{-k\pi}

. Поэтому

J_k=e^{-k\pi}J_0

Все слагаемые неотрицательны, и интеграл по

E

равен сходящейся геометрической сумме:

I=\sum_{k=0}^{\infty}J_k =\dfrac{J_0}{1-e^{-\pi}} =\dfrac{4e^{-\frac\pi8}} {2^{\frac14}(1-e^{-\pi})}