Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2335

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2335

∫01ln⁡x dx\displaystyle\int_0^1\ln x\,dx.
Ответ:−1-1

Решение

Логарифм неограничен при x→0+x\to0^+, поэтому вычисляем предел интегралов с нижней границей ε>0\varepsilon>0. Первообразную находим интегрированием по частям:u=ln⁡x,dv=dxdu=dxx,v=x\begin{aligned}
u&=\ln x,&\qquad dv&=dx\\
du&=\dfrac{dx}{x},&v&=x
\end{aligned}Получаем∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int\ln x\,dx=x\ln x-x+CСледовательно,I=lim⁡ε→0+[xln⁡x−x]ε1==lim⁡ε→0+(−1−εln⁡ε+ε)=−1\begin{aligned}
I
&=\lim_{\varepsilon\to0^+}
[x\ln x-x]_\varepsilon^1=\\
&=\lim_{\varepsilon\to0^+}
(-1-\varepsilon\ln\varepsilon+\varepsilon)=-1
\end{aligned}Для граничного члена использован предел εln⁡ε→0\varepsilon\ln\varepsilon\to0. Положим t=1εt=\frac1\varepsilon; тогда t→+∞t\to+\infty иεln⁡ε=−ln⁡tt⟶0\varepsilon\ln\varepsilon=-\dfrac{\ln t}{t}
\longrightarrow0Последний предел следует, например, из правила Лопиталя: отношение производных равно 1t→0\frac1t\to0.

На (0,1](0,1] логарифм неположителен, поэтому∫01∣ln⁡x∣ dx=−I=1\int_0^1|\ln x|\,dx=-I=1Значит, интеграл сходится абсолютно.
Демидович № 2335 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика