Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2361

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать сходимость интегралов:

Задача 2361

∫0+∞xp−1e−x dx\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,dx.
ВыводИнтеграл сходится абсолютно при p>0p>0; при p≤0p\le0 расходится к +∞+\infty.

Решение

Разделим интеграл в точке 11. Для неотрицательной функции требуется сходимость и у нуля, и на бесконечности. При x→0+x\to0^+ экспонента стремится к 11, поэтомуxp−1e−x∼xp−1x^{p-1}e^{-x}\sim x^{p-1}Признак предельного сравнения позволяет исследовать вместо неё степень xp−1x^{p-1}: отношение двух положительных функций стремится к 11, поэтому их интегралы у нуля сходятся или расходятся одновременно. Для 0<ε<10<\varepsilon<1∫ε1xp−1 dx={1−εpp,p≠0ln⁡1ε,p=0\int_\varepsilon^1x^{p-1}\,dx
=
\begin{cases}
\dfrac{1-\varepsilon^p}{p},&p\ne0\\[3ex]
\ln\dfrac1\varepsilon,&p=0
\end{cases}При p>0p>0 величина εp→0\varepsilon^p\to0, и предел конечен. При p<0p<0 имеем εp→+∞\varepsilon^p\to+\infty, а при p=0p=0 неограниченно растёт логарифм.

Следовательно, необходимое и достаточное условие у нуля — p>0p>0. На бесконечности экспонента обеспечивает сходимость при любом действительном pp.

Проверим, почему экспонента превосходит степенной множитель. Логарифм вспомогательной положительной функции равенln⁡(xp−1e−x2)=(p−1)ln⁡x−x2==x((p−1)ln⁡xx−12)⟶−∞\begin{aligned}
\ln\left(x^{p-1}e^{-\frac x2}\right)
&=(p-1)\ln x-\dfrac x2=\\
&=x\left((p-1)\dfrac{\ln x}x-\dfrac12\right)
\longrightarrow-\infty
\end{aligned}Здесь использован предел ln⁡xx→0\frac{\ln x}x\to0. Поэтому xp−1e−x2→0x^{p-1}e^{-\frac x2}\to0. Эта функция непрерывна на [1,+∞)[1,+\infty) и ограничена, так что для некоторого C>0C>00<xp−1e−x≤Ce−x2,x≥10<x^{p-1}e^{-x}\le Ce^{-\frac x2},\qquad x\ge1Интеграл правой части конечен. Таким образом, ограничение возникает только у нуля. При p=0p=0 там логарифмическая расходимость, а при p<0p<0 — степенная.
Демидович № 2361 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика