Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2338

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x^2+x-2}

Ответ:

\dfrac{\ln4}{3}

Решение

Разложим знаменатель и найдём простые дроби:

x^2+x-2=(x-1)(x+2),\qquad \dfrac1{(x-1)(x+2)}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x+2}

После умножения на знаменатель имеем

1=A(x+2)+B(x-1)

После устранения знаменателей получено тождество многочленов. Оно выполняется при всех

x

, поэтому в нём допустимы подстановки

x=1

x=-2

. Эти значения зануляют по одному слагаемому и позволяют найти коэффициенты:

x=1\ \Longrightarrow\ A=\dfrac13,\qquad x=-2\ \Longrightarrow\ B=-\dfrac13

Следовательно,

\dfrac1{x^2+x-2} =\dfrac13\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+2}\right)

При

x\ge2

обе линейные функции положительны. Для конечной верхней границы

R

получаем

\begin{aligned} \int_2^R\dfrac{dx}{x^2+x-2} &=\dfrac13\left[\ln\dfrac{x-1}{x+2}\right]_2^R=\\ &=\dfrac13\ln\dfrac{R-1}{R+2}+\dfrac{\ln4}{3}\end{aligned}

При

R\to+\infty

отношение в логарифме стремится к

1

, поэтому первый член стремится к нулю. Полученный конечный предел доказывает сходимость.