Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2359

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать сходимость интегралов:

\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt[3]{x^2+1}}

ВыводИнтеграл сходится абсолютно.

Решение

При

x\ge1

знаменатель положителен, поэтому на каждом конечном отрезке функция непрерывна. На бесконечности используем оценку

\sqrt[3]{x^2+1}\ge x^{\frac23},\qquad 0<\dfrac1{x\sqrt[3]{x^2+1}}\le x^{-\frac53}

Интеграл степенной функции конечен:

\int_1^{+\infty}x^{-\frac53}\,dx =\left[-\dfrac32x^{-\frac23}\right]_1^{+\infty} =\dfrac32

По признаку сравнения исходный интеграл сходится, причём абсолютно.