Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2343

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{1+x^5+x^{10}}}

Ответ:

\dfrac15\ln\dfrac{3+2\sqrt3}{3}

Решение

При

x\ge1

знаменатель положителен. На бесконечности функция эквивалентна

x^{-6}

, поэтому интеграл сходится. Чтобы избавиться одновременно от степени и множителя

\frac{dx}{x}

, положим

t=x^{-5},\qquad x=t^{-\frac15},\qquad \dfrac{dx}{x}=-\dfrac{dt}{5t}

Формулу дифференциала получаем непосредственно из производной:

dt=-5x^{-6}\,dx=-5t\dfrac{dx}{x},\qquad \dfrac{dx}{x}=-\dfrac{dt}{5t}

Здесь

t>0

; при

x=1

имеем

t=1

, а при

x\to+\infty

имеем

t\to0^+

. Корень преобразуется так:

\sqrt{1+x^5+x^{10}} =\dfrac{\sqrt{t^2+t+1}}{t}

Следовательно,

I=\dfrac15\int_0^1\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}}

Выделим полный квадрат и нормируем его:

\begin{gathered} t^2+t+1=\left(t+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\\ u=\dfrac{2t+1}{\sqrt3},\qquad t=\dfrac{\sqrt3\,u-1}{2},\qquad dt=\dfrac{\sqrt3}{2}\,du\end{gathered}

После этой замены корень и дифференциал имеют вид

\sqrt{t^2+t+1}=\dfrac{\sqrt3}{2}\sqrt{1+u^2}, \qquad dt=\dfrac{\sqrt3}{2}\,du

Одинаковые множители сокращаются:

\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}} =\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}\,du} {\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{1+u^2}} =\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}

Новые пределы равны

t=0\ \Longrightarrow\ u=\dfrac1{\sqrt3}, \qquad t=1\ \Longrightarrow\ u=\sqrt3

Проверим первообразную

\ln(u+\sqrt{1+u^2})

, чтобы обосновать используемую формулу:

\begin{aligned} \left(\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right)\right)' &=\dfrac{1+\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}}{u+\sqrt{1+u^2}}=\\ &=\dfrac1{\sqrt{1+u^2}}\end{aligned}

В последнем сокращении числитель записан как

\frac{\sqrt{1+u^2}+u}{\sqrt{1+u^2}}

; величина

u+\sqrt{1+u^2}

положительна. Следовательно,

\begin{aligned} I &=\dfrac15\int_{\frac1{\sqrt3}}^{\sqrt3} \dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\\ &=\dfrac15 \left[\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right)\right]_{\frac1{\sqrt3}}^{\sqrt3}=\\ &=\dfrac15\ln\dfrac{\sqrt3+2}{\sqrt3} =\dfrac15\ln\dfrac{3+2\sqrt3}{3}\end{aligned}

Все аргументы логарифмов положительны, поэтому модули здесь не нужны.