Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2360

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать сходимость интегралов:

Задача 2360

∫02dxln⁡x\displaystyle\int_0^2\frac{dx}{\ln x}.
ВыводИнтеграл расходится из-за особой точки x=1x=1.

Решение

При x→0+x\to0^+ логарифм стремится к −∞-\infty, поэтому 1ln⁡x→0\frac1{\ln x}\to0. Эта точка не препятствует сходимости: функцию можно непрерывно доопределить нулём.

Внутри отрезка находится существенная особая точка x=1x=1. Посколькуlim⁡x→1ln⁡xx−1=1,1ln⁡x∼1x−1\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1,
\qquad
\dfrac1{\ln x}\sim\dfrac1{x-1}модуль подынтегральной функции сравним с 1∣x−1∣\frac1{|x-1|}. Например, в достаточно малой проколотой окрестности 11 отношение ln⁡xx−1\frac{\ln x}{x-1} лежит между 12\frac12 и 32\frac32, поэтому∣1ln⁡x∣≥23∣x−1∣\left|\dfrac1{\ln x}\right|
\ge\dfrac2{3|x-1|}Чтобы проверить расходимость интеграла сравнения, обозначим расстояние до точки 11 через u=∣x−1∣u=|x-1|. На каждой стороне этой точки при 0<ε<δ0<\varepsilon<\delta возникает∫εδduu=ln⁡δε⟶+∞(ε→0+)\int_\varepsilon^\delta\dfrac{du}u
=\ln\dfrac\delta\varepsilon\longrightarrow+\infty
\qquad(\varepsilon\to0^+)Поэтому модуль исходной функции неинтегрируем у 11. Слева от этой точки функция отрицательна, справа положительна. Следовательно,∫01dxln⁡x=−∞,∫12dxln⁡x=+∞\int_0^1\dfrac{dx}{\ln x}=-\infty,\qquad
\int_1^2\dfrac{dx}{\ln x}=+\inftyВ определении обычного несобственного интеграла обе части должны сходиться независимо. Складывать −∞-\infty и +∞+\infty нельзя, поэтому заданный интеграл расходится. Симметрическое главное значение является другим понятием и здесь не заменяет обычную сходимость.
Демидович № 2360 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика