Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2340

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2340

∫0+∞dx1+x2\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}.
Ответ:π2\dfrac\pi2

Решение

Для конечного R>0R>0 первообразная arctg⁡x\arctg x даёт∫0Rdx1+x2=arctg⁡R−arctg⁡0=arctg⁡R\int_0^R\dfrac{dx}{1+x^2}
=\arctg R-\arctg0=\arctg RПереходим к определяющему несобственный интеграл пределу:I=lim⁡R→+∞arctg⁡R=π2I=\lim_{R\to+\infty}\arctg R=\dfrac\pi2Подынтегральная функция неотрицательна, поэтому конечность этого предела доказывает также абсолютную сходимость.
Демидович № 2340 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика