Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2337

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

Ответ:

\pi

Решение

Особые точки находятся в обоих концах отрезка, поэтому разделим интеграл в точке

0

. На

(-1,1)

первообразная равна

\arcsin x

, поскольку

(\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}

Рассматриваем концы независимо:

\begin{aligned} \int_{-1}^{0}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} &=\lim_{\varepsilon\to0^+} \left(\arcsin0-\arcsin(-1+\varepsilon)\right)=\dfrac\pi2\\ \int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} &=\lim_{\delta\to0^+} \left(\arcsin(1-\delta)-\arcsin0\right)=\dfrac\pi2\end{aligned}

Оба предела конечны. Поэтому исходный несобственный интеграл сходится и равен их сумме, то есть

\pi