Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2358

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать сходимость интегралов:

\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^2\,dx}{x^4-x^2+1}

ВыводИнтеграл сходится абсолютно.

Решение

Знаменатель не обращается в нуль:

x^4-x^2+1=\left(x^2-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0

Поэтому на любом конечном отрезке функция непрерывна; при

x=0

её значение равно нулю. Единственная возможная проблема находится на бесконечности. При

x\ge\sqrt2

выполняется

x^2\le\frac12x^4

, поэтому

0\le\dfrac{x^2}{x^4-x^2+1} \le\dfrac{x^2}{\frac12x^4}=\dfrac2{x^2}

Вычислим интеграл сравнения:

\int_{\sqrt2}^{+\infty}\dfrac2{x^2}\,dx =\lim_{R\to+\infty}\left[-\dfrac2x\right]_{\sqrt2}^R =\sqrt2<+\infty

По признаку сравнения исходный интеграл сходится. Подынтегральная функция неотрицательна, поэтому сходимость абсолютная.