Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2345

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctg x}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx

Ответ:

\dfrac\pi2-1

Решение

Подынтегральная функция непрерывна при

x\ge0

, а на бесконечности имеет порядок

x^{-3}

. Интеграл сходится. Замена

t=\arctg x

превращает числитель в

t

, а выражение

1+x^2

— в

1+\tg^2t=\frac1{\cos^2t}

. Это позволит сократить часть множителей знаменателя с дифференциалом. Положим

\begin{gathered} t=\arctg x,\qquad x=\tg t,\qquad dx=\dfrac{dt}{\cos^2t}\\ 0\le t<\dfrac\pi2\end{gathered}

На выбранном промежутке

\cos t>0

, поэтому степень знаменателя равна

(1+x^2)^{\frac32} =\left(\dfrac1{\cos^2t}\right)^{\frac32} =\dfrac1{\cos^3t}

Новые пределы:

x=0\ \Longrightarrow\ t=0, \qquad x\to+\infty\ \Longrightarrow\ t\to\dfrac\pi2^-

Собираем все множители, включая дифференциал:

\dfrac{\arctg x}{(1+x^2)^{\frac32}}\,dx =t\cos^3t\cdot\dfrac{dt}{\cos^2t} =t\cos t\,dt

Таким образом,

I=\int_0^{\frac\pi2}t\cos t\,dt

Интегрируем по частям:

\begin{aligned} u&=t,&\qquad dv&=\cos t\,dt\\ du&=dt,&v&=\sin t\end{aligned}

Тогда

\begin{aligned} I &=[t\sin t]_0^{\frac\pi2} -\int_0^{\frac\pi2}\sin t\,dt=\\ &=\dfrac\pi2-1\end{aligned}