Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2355

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2355

Доказать равенство∫0+∞f(ax+bx) dx=1a∫0+∞f(x2+4ab) dx,\int_0^{+\infty}f\left(ax+\frac bx\right)\,dx
=\frac1a\int_0^{+\infty}f\bigl(\sqrt{x^2+4ab}\bigr)\,dx,где a>0a>0 и b>0b>0, предполагая, что интеграл в левой части равенства имеет смысл.
Доказано:∫0+∞f(ax+bx) dx=1a∫0+∞f(x2+4ab) dx,a>0,b>0\int_0^{+\infty}f\left(ax+\dfrac bx\right)\,dx
=\dfrac1a\int_0^{+\infty}
f\left(\sqrt{x^2+4ab}\right)\,dx,\qquad a>0,\quad b>0

Доказательство

Выберем точку, в которой два слагаемых аргумента совпадают:c=ba>0,ac=bc=ab,ac−bc=0c=\sqrt{\dfrac ba}>0,\qquad
ac=\dfrac bc=\sqrt{ab},\qquad ac-\dfrac bc=0Замена x=batx=\frac b{at} переводит точку cc в неё саму и меняет местами промежутки (0,c)(0,c) и (c,+∞)(c,+\infty).

Это позволяет объединить обе части исходного интеграла на одном промежутке. Разделим интеграл в точке cc. По предположению обе части имеют смысл. На (0,c)(0,c) применим заменуx=bat,t=bax,dx=−bat2 dtx=\dfrac b{at},\qquad t=\dfrac b{ax},\qquad
dx=-\dfrac b{at^2}\,dtНовые пределы равныx→0+ ⟹ t→+∞,x=c ⟹ t=cx\to0^+\ \Longrightarrow\ t\to+\infty,
\qquad x=c\ \Longrightarrow\ t=cАргумент функции после замены не меняет своего вида:ax+bx=bt+at=at+btax+\dfrac bx=\dfrac bt+at=at+\dfrac btПоэтому∫0cf(ax+bx) dx=∫c+∞bat2f(at+bt) dt\int_0^c f\left(ax+\dfrac bx\right)\,dx
=\int_c^{+\infty}\dfrac b{at^2}
f\left(at+\dfrac bt\right)\,dtВо второй части исходного интеграла просто переименуем переменную xx в tt. Складывая два сходящихся интеграла, получаемI=∫c+∞(1+bat2)f(at+bt) dtI=\int_c^{+\infty}\left(1+\dfrac b{at^2}\right)
f\left(at+\dfrac bt\right)\,dtТеперь положимu=at−bt,du=(a+bt2)dtt=u+u2+4ab2a\begin{gathered}
u=at-\dfrac bt,\qquad
du=\left(a+\dfrac b{t^2}\right)dt\\
t=\dfrac{u+\sqrt{u^2+4ab}}{2a}
\end{gathered}Замена возрастает, переводит cc в 00, а +∞+\infty в +∞+\infty. По тождеству(at+bt)2=(at−bt)2+4ab\left(at+\dfrac bt\right)^2
=\left(at-\dfrac bt\right)^2+4abи положительности at+btat+\frac bt имеемat+bt=u2+4ab(1+bat2)dt=1a du\begin{aligned}
at+\dfrac bt=\sqrt{u^2+4ab}\\
\left(1+\dfrac b{at^2}\right)dt=\dfrac1a\,du
\end{aligned}Следовательно,I=1a∫0+∞f(u2+4ab) duI=\dfrac1a\int_0^{+\infty}
f\left(\sqrt{u^2+4ab}\right)\,duДоказательство использует отдельную сходимость частей исходного несобственного интеграла. Поэтому равенство не основано на формальном сокращении расходящихся величин.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2355 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика