Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2344

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2344

∫0+∞xln⁡x(1+x2)2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx.
Ответ:00

Решение

Сначала проверим сходимость, чтобы законно складывать и преобразовывать части интеграла. При x→0+x\to0^+ модуль функции имеет порядок x∣ln⁡x∣x|\ln x|, а при x→+∞x\to+\infty — ln⁡xx3\frac{\ln x}{x^3}. Проверим конечность обоих интегралов сравнения по частям. На (0,1)(0,1) имеем ∣ln⁡x∣=−ln⁡x|\ln x|=-\ln x, поэтому берёмu=−ln⁡x,dv=x dxdu=−dxx,v=x22\begin{aligned}
u&=-\ln x,&\qquad dv&=x\,dx\\
du&=-\dfrac{dx}{x},& v&=\dfrac{x^2}{2}
\end{aligned}Для второго интеграла выбираемu=ln⁡x,dv=x−3 dxdu=dxx,v=−12x2\begin{aligned}
u&=\ln x,&\qquad dv&=x^{-3}\,dx\\
du&=\dfrac{dx}{x},& v&=-\dfrac1{2x^2}
\end{aligned}Применяем формулу интегрирования по частям∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,duДля двух выбранных пар получаем∫−xln⁡x dx=−x22ln⁡x+∫x2 dx∫ln⁡xx3 dx=−ln⁡x2x2+∫dx2x3\begin{aligned}
\int-x\ln x\,dx
&=-\dfrac{x^2}{2}\ln x+\int\dfrac x2\,dx\\
\int\dfrac{\ln x}{x^3}\,dx
&=-\dfrac{\ln x}{2x^2}+\int\dfrac{dx}{2x^3}
\end{aligned}Вычисляя оставшиеся степенные интегралы и подставляя границы, имеем∫01x∣ln⁡x∣ dx=[−x22ln⁡x+x24]01=14∫1+∞ln⁡xx3 dx=[−ln⁡x2x2−14x2]1+∞=14\begin{aligned}
\int_0^1x|\ln x|\,dx
&=\left[-\dfrac{x^2}{2}\ln x+\dfrac{x^2}{4}\right]_0^1=\dfrac14\\
\int_1^{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^3}\,dx
&=\left[-\dfrac{\ln x}{2x^2}-\dfrac1{4x^2}\right]_1^{+\infty}=\dfrac14
\end{aligned}Значения в особых концах этих скобок понимаются как пределы:lim⁡x→0+x2ln⁡x=0,lim⁡x→+∞ln⁡xx2=0\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0,
\qquad \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0Оба интеграла сравнения конечны. Поэтому по предельному сравнению исходный интеграл сходится абсолютно. Разделим его в точке 11:I=∫01xln⁡x(1+x2)2 dx+∫1+∞xln⁡x(1+x2)2 dxI=\int_0^1\dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx
+\int_1^{+\infty}\dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dxВо второй части положимx=1t,t=1x,dx=−dtt2x=\dfrac1t,\qquad t=\dfrac1x,\qquad dx=-\dfrac{dt}{t^2}Тогда ln⁡x=−ln⁡t\ln x=-\ln t. Преобразуем также весь знаменатель и дифференциал:(1+x2)2=(1+t2)2t4xln⁡x(1+x2)2 dx=−ln⁡tt(1+t2)2t4(−dtt2)=tln⁡t(1+t2)2 dt\begin{aligned}
(1+x^2)^2&=\dfrac{(1+t^2)^2}{t^4}\\
\dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx
&=\dfrac{-\frac{\ln t}{t}}{\frac{(1+t^2)^2}{t^4}}
\left(-\dfrac{dt}{t^2}\right)
=\dfrac{t\ln t}{(1+t^2)^2}\,dt
\end{aligned}Два минуса сократились, а границы 11 и +∞+\infty переходят в 11 и 00. Поэтому∫1+∞xln⁡x(1+x2)2 dx=∫10tln⁡t(1+t2)2 dt==−∫01tln⁡t(1+t2)2 dt\begin{aligned}
\int_1^{+\infty}\dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx
&=\int_1^0\dfrac{t\ln t}{(1+t^2)^2}\,dt=\\
&=-\int_0^1\dfrac{t\ln t}{(1+t^2)^2}\,dt
\end{aligned}Полученные две части противоположны, поэтому I=0I=0.
Демидович № 2344 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика