Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2347

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2347

\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin bx\,dx

(a>0)

Ответ:

\dfrac b{a^2+b^2},\qquad a>0,\quad b\in\mathbb R

Решение

Сначала проверим абсолютную сходимость. При

a>0

|e^{-ax}\sin bx|\le e^{-ax},\qquad \int_0^{+\infty}e^{-ax}\,dx=\dfrac1a<+\infty

Следовательно, сравнение применимо при любом действительном

b

. Производные произведений экспоненты с синусом и косинусом выражаются через те же два произведения. Подбирая их постоянные коэффициенты, можно получить нужный синус и убрать лишний косинус. Поэтому ищем первообразную

F(x)=e^{-ax}(A\cos bx+B\sin bx)

По правилу произведения получаем

F'(x)=e^{-ax} \left((-aA+bB)\cos bx+(-bA-aB)\sin bx\right)

Для совпадения с исходной функцией достаточно приравнять коэффициенты косинуса и синуса к

0

1

\begin{cases} -aA+bB=0\\ -bA-aB=1\end{cases}

Поскольку

a>0

, из первого уравнения имеем

A=\frac ba B

. Подставляем во второе:

-\dfrac{b^2}{a}B-aB=1,\qquad -(a^2+b^2)B=a

Отсюда

B=-\dfrac a{a^2+b^2},\qquad A=\dfrac ba B=-\dfrac b{a^2+b^2}

Этот способ не требует деления на

b

, поэтому включает

b=0

. Следовательно,

F(x)=-\dfrac{e^{-ax}(b\cos bx+a\sin bx)}{a^2+b^2}

Эта формула проверена полученным выражением производной. На бесконечности экспонента стремится к нулю, а синус и косинус ограничены, поэтому

\lim_{x\to+\infty}F(x)=0,\qquad F(0)=-\dfrac b{a^2+b^2}

Следовательно,

I=\lim_{R\to+\infty}(F(R)-F(0)) =\dfrac b{a^2+b^2}

Формула включает

b=0

, когда исходная функция тождественно равна нулю, и отрицательные значения

b