Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2356

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Средним значением функции

f(x)

на интервале

(0,+\infty)

называется число

M[f]=\lim_{x\to+\infty}\frac1x\int_0^xf(\xi)\,d\xi.

Найти средние значения следующих функций:

а)

f(x)=\sin^2x+\cos^2(x\sqrt2)

; б)

f(x)=\arctg x

;

в)

f(x)=\sqrt x\sin x

Ответ:а)

1

; б)

\frac\pi2

; в)

0

Решение

а) Используем формулы половинного угла:

f(t)=1-\dfrac12\cos2t+\dfrac12\cos(2\sqrt2\,t)

После интегрирования и деления на

x

получаем

\dfrac1x\int_0^x f(t)\,dt =1-\dfrac{\sin2x}{4x} +\dfrac{\sin(2\sqrt2\,x)}{4\sqrt2\,x} \ \longrightarrow\ 1

Оба последних числителя ограничены, а знаменатели стремятся к бесконечности.

б) Для интегрирования по частям берём

\begin{aligned} u&=\arctg t,&\qquad dv&=dt\\ du&=\dfrac{dt}{1+t^2},&v&=t\end{aligned}

Получаем

\int\arctg t\,dt =t\arctg t-\int\dfrac{t}{1+t^2}\,dt =t\arctg t-\dfrac12\ln(1+t^2)+C

Коэффициент

\frac12

в последнем интеграле возникает из производной

1+t^2

, равной

2t

. Поэтому

\dfrac1x\int_0^x\arctg t\,dt =\arctg x-\dfrac{\ln(1+x^2)}{2x} \ \longrightarrow\ \dfrac\pi2

Логарифмический член в подпункте б) исчезает по правилу Лопиталя:

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(1+x^2)}{2x} =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{1+x^2}=0

Поэтому среднее значение стремится к

\frac\pi2

.

в) Саму функцию

\sqrt t\sin t

нельзя ограничить постоянной, но можно оценить её интеграл. Интегрируем по частям на

[\varepsilon,x]

\begin{aligned} u&=\sqrt t,&\qquad dv&=\sin t\,dt\\ du&=\dfrac{dt}{2\sqrt t},&v&=-\cos t\end{aligned}

Затем устремляем

\varepsilon

к нулю:

\int_0^x\sqrt t\sin t\,dt =-\sqrt x\cos x+\dfrac12\int_0^x\dfrac{\cos t}{\sqrt t}\,dt

Нижний граничный член исчезает, а последний интеграл существует, поскольку

\frac1{\sqrt t}

интегрируема в нуле. Теперь

\begin{aligned} \left|\int_0^x\sqrt t\sin t\,dt\right| &\le\sqrt x+\dfrac12\int_0^x\dfrac{dt}{\sqrt t} =2\sqrt x\\ \left|\dfrac1x\int_0^x\sqrt t\sin t\,dt\right| &\le\dfrac2{\sqrt x}\ \longrightarrow\ 0\end{aligned}

Значит, среднее значение существует и равно нулю.