Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2348

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить следующие несобственные интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2348

In=∫0+∞xne−x dx\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,dx.
Ответ:In=n!,n=1,2,…I_n=n!,\qquad n=1,2,\ldots

Решение

Выведем формулу понижения интегрированием по частям. Начальное значение равноI0=∫0+∞e−x dx=1I_0=\int_0^{+\infty}e^{-x}\,dx=1При n≥1n\ge1 сначала интегрируем до конечного RR. Степень xnx^n берём в качестве uu: при дифференцировании её показатель уменьшается на единицу. Экспоненту включаем в dvdv, поскольку её первообразная отличается только знаком. Так интегрирование по частям свяжет InI_n с In−1I_{n-1}. Берёмu=xn,dv=e−x dxdu=nxn−1 dx,v=−e−x\begin{aligned}
u&=x^n,&\qquad dv&=e^{-x}\,dx\\
du&=nx^{n-1}\,dx,&v&=-e^{-x}
\end{aligned}Тогда∫0Rxne−x dx=−Rne−R+n∫0Rxn−1e−x dx\int_0^R x^ne^{-x}\,dx
=-R^ne^{-R}+n\int_0^R x^{n-1}e^{-x}\,dxГраничный член при 00 равен нулю. При R→+∞R\to+\infty граничный член также исчезает. Это можно проверить правилом Лопиталя: после nn последовательных дифференцирований числителя и знаменателяlim⁡R→+∞Rne−R=lim⁡R→+∞RneR=lim⁡R→+∞n!eR=0\lim_{R\to+\infty}R^ne^{-R}
=\lim_{R\to+\infty}\dfrac{R^n}{e^R}
=\lim_{R\to+\infty}\dfrac{n!}{e^R}=0Если In−1I_{n-1} конечен, последняя формула доказывает сходимость InI_n и даётIn=nIn−1I_n=nI_{n-1}Начиная с I0=1I_0=1, последовательно понижаем степень:In=n(n−1)⋯1 I0=n!I_n=n(n-1)\cdots1\,I_0=n!Таким образом, сходимость и формула доказаны одновременно для всех натуральных nn.