Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2341

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx

Ответ:

\dfrac{\pi}{\sqrt2}

Решение

Подберём замену, дифференциал которой содержит числитель. При

x>0

делим числитель и знаменатель дроби на

x^2

\dfrac{x^2+1}{x^4+1} =\dfrac{1+x^{-2}}{x^2+x^{-2}}

Сумму в знаменателе можно представить через квадрат разности:

x^2+x^{-2}=\left(x-\dfrac1x\right)^2+2

При этом производная выражения

x-\frac1x

равна

1+x^{-2}

и точно совпадает с новым числителем. Поэтому естественно положить

t=x-\dfrac1x,\qquad dt=\left(1+\dfrac1{x^2}\right)dx,\qquad x=\dfrac{t+\sqrt{t^2+4}}2

Обратную связь получаем из уравнения

x^2-tx-1=0

Его корни равны

\dfrac{t\pm\sqrt{t^2+4}}2

Поскольку

\sqrt{t^2+4}>|t|

, только корень со знаком плюс положителен. Именно он соответствует исходному условию

x>0

. Подынтегральное выражение преобразуется вместе с дифференциалом:

\dfrac{x^2+1}{x^4+1}\,dx =\dfrac{(1+x^{-2})\,dx}{(x-x^{-1})^2+2} =\dfrac{dt}{t^2+2}

При

x>0

производная новой переменной положительна, поэтому замена строго возрастает. Её концевые значения равны

\begin{aligned} x\to0^+&\quad\Longrightarrow\quad t\to-\infty\\ x\to+\infty&\quad\Longrightarrow\quad t\to+\infty\end{aligned}

Для вычисления нового интеграла проверим коэффициент в первообразной:

\left(\dfrac1{\sqrt2}\arctg\dfrac{t}{\sqrt2}\right)' =\dfrac1{2\left(1+\frac{t^2}{2}\right)} =\dfrac1{t^2+2}

Следовательно,

\begin{aligned} I &=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2+2}=\\ &=\dfrac1{\sqrt2} \left[\arctg\dfrac{t}{\sqrt2}\right]_{-\infty}^{+\infty} =\dfrac{\pi}{\sqrt2}\end{aligned}

Пределы каждой половины последнего интеграла конечны, поэтому он сходится. Это согласуется с поведением исходной функции: при

x\to0^+

она стремится к

1

, а при

x\to+\infty

эквивалентна

\frac1{x^2}