Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2342

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{(2-x)\sqrt{1-x}}

Ответ:

\dfrac\pi2

Решение

Особая точка находится при

x=1

, где обращается в нуль квадратный корень. Устраним его заменой

t=\sqrt{1-x},\qquad x=1-t^2,\qquad dx=-2t\,dt

При

x=0

имеем

t=1

, а при

x\to1^-

имеем

t\to0^+

. Кроме того,

2-x=1+t^2

. Поэтому

\begin{aligned} I &=\int_1^0\dfrac{-2t\,dt}{(1+t^2)t} =2\int_0^1\dfrac{dt}{1+t^2}=\\ &=2[\arctg t]_0^1=2\cdot\dfrac\pi4=\dfrac\pi2\end{aligned}

Сокращение на

t

выполнено при

t>0

, до перехода к пределу. После сокращения функция непрерывна и в точке

t=0

, поэтому несобственный интеграл сходится.