Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2351

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить следующие несобственные интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2351

In=∫01xn dx(1−x)(1+x)\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n\,dx}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}.
Ответ:I2k=(2k−1)!!(2k)!!π2,k≥1;I2k+1=(2k)!!(2k+1)!!,k≥0I_{2k}=\dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\dfrac\pi2,\quad k\ge1;\qquad
I_{2k+1}=\dfrac{(2k)!!}{(2k+1)!!},\quad k\ge0

Решение

Особенность при x=1x=1 имеет порядок 11−x\frac1{\sqrt{1-x}} и интегрируема. Для вычисления положимx=sin⁡t,t=arcsin⁡x,dx=cos⁡t dt0≤t≤π2\begin{gathered}
x=\sin t,\qquad t=\arcsin x,\qquad dx=\cos t\,dt\\
0\le t\le\dfrac\pi2
\end{gathered}На этом промежутке cos⁡t≥0\cos t\ge0, поэтому 1−x2=cos⁡t\sqrt{1-x^2}=\cos t. После сокращения при t<π2t<\frac\pi2 и перехода к пределу получаемIn=∫0π2sin⁡nt dtI_n=\int_0^{\frac\pi2}\sin^n t\,dtВыведем формулу понижения при n≥2n\ge2. Интегрируем по частям:u=sin⁡n−1t,dv=sin⁡t dtdu=(n−1)sin⁡n−2tcos⁡t dt,v=−cos⁡t\begin{aligned}
u&=\sin^{n-1}t,&\qquad dv&=\sin t\,dt\\
du&=(n-1)\sin^{n-2}t\cos t\,dt,&v&=-\cos t
\end{aligned}ТогдаIn=[−sin⁡n−1tcos⁡t]0π2+(n−1)∫0π2sin⁡n−2tcos⁡2t dt==(n−1)(In−2−In)\begin{aligned}
I_n
&=[-\sin^{n-1}t\cos t]_0^{\frac\pi2}
+(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}t\cos^2t\,dt=\\
&=(n-1)(I_{n-2}-I_n)
\end{aligned}Граничный член равен нулю, а в последнем переходе использовано cos⁡2t=1−sin⁡2t\cos^2t=1-\sin^2t. Переносим член с InI_n:In=n−1nIn−2I0=π2,I1=1\begin{gathered}
I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\\
I_0=\dfrac\pi2,\qquad I_1=1
\end{gathered}Понижение на две единицы заканчивается на I0I_0 для чётного nn и на I1I_1 для нечётного. Поэтому коэффициенты удобно записывать через произведения чисел одной чётности.

Двойной факториал r!!r!! — произведение положительных целых чисел той же чётности, что и rr, до 11 или 22. Например, при k≥1k\ge1(2k)!!=2⋅4⋯(2k)(2k−1)!!=1⋅3⋯(2k−1)\begin{aligned}
(2k)!!&=2\cdot4\cdots(2k)\\
(2k-1)!!&=1\cdot3\cdots(2k-1)
\end{aligned}Принимаем 0!!=10!!=1. Знак ∏\prod означает перемножение указанных множителей. Последовательное применение формулы при k≥1k\ge1 даётI2k=(∏j=1k2j−12j)I0==(2k−1)!!(2k)!!π2I2k+1=(∏j=1k2j2j+1)I1==(2k)!!(2k+1)!!\begin{aligned}
I_{2k}
&=\left(\prod_{j=1}^k\dfrac{2j-1}{2j}\right)I_0=\\
&=\dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\dfrac\pi2\\
I_{2k+1}
&=\left(\prod_{j=1}^k\dfrac{2j}{2j+1}\right)I_1=\\
&=\dfrac{(2k)!!}{(2k+1)!!}
\end{aligned}Для n=1n=1 используем начальное значение I1=1I_1=1. Формула для нечётных степеней также даёт его при k=0k=0, поскольку 0!!=1!!=10!!=1!!=1.
Демидович № 2351 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика