Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2336

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить интегралы:

Задача 2336

∫−∞+∞dx1+x2\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}.
Ответ:π\pi

Решение

У интеграла две бесконечные границы. По определению нужно отдельно установить сходимость каждой половины; одного симметрического предела недостаточно. Используем первообразную arctg⁡x\arctg x:∫0+∞dx1+x2=lim⁡R→+∞(arctg⁡R−arctg⁡0)=π2∫−∞0dx1+x2=lim⁡L→−∞(arctg⁡0−arctg⁡L)=π2\begin{aligned}
\int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{1+x^2}
&=\lim_{R\to+\infty}(\arctg R-\arctg0)=\dfrac\pi2\\
\int_{-\infty}^0\dfrac{dx}{1+x^2}
&=\lim_{L\to-\infty}(\arctg0-\arctg L)=\dfrac\pi2
\end{aligned}Оба предела конечны, поэтому их можно сложить:I=π2+π2=πI=\dfrac\pi2+\dfrac\pi2=\piПодынтегральная функция положительна, следовательно, сходимость также абсолютная.
Демидович № 2336 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика