Раздел IV. Определённый интеграл — § 4. Несобственные интегралы

Демидович — задача 2352

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить следующие несобственные интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2352

In=∫0+∞dxch⁡n+1x\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\ch^{n+1}x}.
Ответ:I2k=(2k−1)!!(2k)!!π2,k≥1;I2k+1=(2k)!!(2k+1)!!,k≥0I_{2k}=\dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\dfrac\pi2,\quad k\ge1;\qquad
I_{2k+1}=\dfrac{(2k)!!}{(2k+1)!!},\quad k\ge0

Решение

Напомним обозначения:ch⁡x=ex+e−x2sh⁡x=ex−e−x2th⁡x=sh⁡xch⁡x\begin{aligned}
\operatorname{ch}x&=\dfrac{e^x+e^{-x}}2\\
\operatorname{sh}x&=\dfrac{e^x-e^{-x}}2\\
\operatorname{th}x&=\dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}
\end{aligned}При x≥0x\ge0 гиперболический косинус не меньше ex2\frac{e^x}2. Поэтому0<1ch⁡n+1x≤2n+1e−(n+1)x0<\dfrac1{\operatorname{ch}^{n+1}x}
\le2^{n+1}e^{-(n+1)x}Интеграл сходится для всех целых n≥0n\ge0. Значение n=0n=0 понадобится как начальное в формуле понижения. Найдём начальные значения. Для n=1n=1 используем производную гиперболического тангенса. По правилу частного и тождеству ch⁡2x−sh⁡2x=1\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1 получаем(th⁡x)′=(sh⁡xch⁡x)′==ch⁡2x−sh⁡2xch⁡2x=1ch⁡2x\begin{aligned}
(\operatorname{th}x)'
&=\left(\dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}\right)'=\\
&=\dfrac{\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x}{\operatorname{ch}^2x}
=\dfrac1{\operatorname{ch}^2x}
\end{aligned}ПоэтомуI1=∫0+∞dxch⁡2x=[th⁡x]0+∞=1I_1=\int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{\operatorname{ch}^2x}
=[\operatorname{th}x]_0^{+\infty}=1Для I0I_0 положим u=sh⁡xu=\operatorname{sh}x. Чтобы выразить xx, используем определение гиперболического синуса и обозначаем z=ex>0z=e^x>0:u=z−z−12⟹z2−2uz−1=0u=\dfrac{z-z^{-1}}2
\quad\Longrightarrow\quad z^2-2uz-1=0Корни равны u±1+u2u\pm\sqrt{1+u^2}. Так как 1+u2>∣u∣\sqrt{1+u^2}>|u|, положителен только корень со знаком плюс. Следовательно, ex=u+1+u2e^x=u+\sqrt{1+u^2}. Вместе с дифференциалом и основным гиперболическим тождеством получаемx=ln⁡(u+1+u2)du=ch⁡x dx,ch⁡2x=1+u2\begin{gathered}
x=\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right)\\
du=\operatorname{ch}x\,dx,\qquad
\operatorname{ch}^2x=1+u^2
\end{gathered}Пределы 00 и +∞+\infty сохраняются. Дифференциал dx=duch⁡xdx=\frac{du}{\operatorname{ch}x} даёт ещё один множитель гиперболического косинуса в знаменателе:dxch⁡x=duch⁡2x=du1+u2\dfrac{dx}{\operatorname{ch}x}
=\dfrac{du}{\operatorname{ch}^2x}
=\dfrac{du}{1+u^2}Следовательно,I0=∫0+∞du1+u2=π2I_0=\int_0^{+\infty}\dfrac{du}{1+u^2}=\dfrac\pi2Для понижения нужно связать интегралы со знаменателями ch⁡n+1x\operatorname{ch}^{n+1}x и ch⁡n−1x\operatorname{ch}^{n-1}x. При n≥2n\ge2 дифференцируем sh⁡xch⁡nx\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^n x}. Используем равенстваsh⁡′x=ch⁡x,ch⁡′x=sh⁡xsh⁡2x=ch⁡2x−1\begin{gathered}
\operatorname{sh}'x=\operatorname{ch}x,\qquad
\operatorname{ch}'x=\operatorname{sh}x\\
\operatorname{sh}^2x=\operatorname{ch}^2x-1
\end{gathered}Тогда(sh⁡xch⁡nx)′=1ch⁡n−1x−nsh⁡2xch⁡n+1x==1ch⁡n−1x−n(ch⁡2x−1)ch⁡n+1x==nch⁡n+1x−n−1ch⁡n−1x\begin{aligned}
\left(\dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^n x}\right)'
&=\dfrac1{\operatorname{ch}^{n-1}x}
-\dfrac{n\operatorname{sh}^2x}{\operatorname{ch}^{n+1}x}=\\
&=\dfrac1{\operatorname{ch}^{n-1}x}
-\dfrac{n(\operatorname{ch}^2x-1)}{\operatorname{ch}^{n+1}x}=\\
&=\dfrac n{\operatorname{ch}^{n+1}x}
-\dfrac{n-1}{\operatorname{ch}^{n-1}x}
\end{aligned}Проверим граничные значения функции, производную которой интегрируем. При x=0x=0 числитель равен нулю. При x≥0x\ge0 и n≥2n\ge2 имеем0≤sh⁡xch⁡nx=th⁡xch⁡n−1x≤1ch⁡n−1x⟶00\le\dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^n x}
=\dfrac{\operatorname{th}x}{\operatorname{ch}^{n-1}x}
\le\dfrac1{\operatorname{ch}^{n-1}x}\longrightarrow0Здесь использованы 0≤th⁡x≤10\le\operatorname{th}x\le1 и ch⁡x→+∞\operatorname{ch}x\to+\infty. Поэтому оба граничных значения равны нулю, и после интегрирования получаемnIn−(n−1)In−2=0,In=n−1nIn−2nI_n-(n-1)I_{n-2}=0,\qquad
I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}Понижение на две единицы заканчивается на I0I_0 для чётного nn и на I1I_1 для нечётного. Поэтому коэффициенты удобно записывать через произведения чисел одной чётности.

Двойной факториал r!!r!! — произведение положительных целых чисел той же чётности, что и rr, до 11 или 22. Например, при k≥1k\ge1(2k)!!=2⋅4⋯(2k)(2k−1)!!=1⋅3⋯(2k−1)\begin{aligned}
(2k)!!&=2\cdot4\cdots(2k)\\
(2k-1)!!&=1\cdot3\cdots(2k-1)
\end{aligned}Принимаем 0!!=10!!=1. Знак ∏\prod означает перемножение указанных множителей. Последовательное применение формулы при k≥1k\ge1 даётI2k=(∏j=1k2j−12j)I0==(2k−1)!!(2k)!!π2I2k+1=(∏j=1k2j2j+1)I1==(2k)!!(2k+1)!!\begin{aligned}
I_{2k}
&=\left(\prod_{j=1}^k\dfrac{2j-1}{2j}\right)I_0=\\
&=\dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\dfrac\pi2\\
I_{2k+1}
&=\left(\prod_{j=1}^k\dfrac{2j}{2j+1}\right)I_1=\\
&=\dfrac{(2k)!!}{(2k+1)!!}
\end{aligned}Для n=1n=1 используем начальное значение I1=1I_1=1. Формула для нечётных степеней также даёт его при k=0k=0, поскольку 0!!=1!!=10!!=1!!=1.
Демидович № 2352 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика