Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2055

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{(\sin x+\cos x)\,dx}{2\sin^2x-4\sin x\cos x+5\cos^2x}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{3}{5}\arctg(\sin x-2\cos x) +\dfrac{1}{10\sqrt6} \ln\dfrac{\sqrt6+2\sin x+\cos x} {\sqrt6-2\sin x-\cos x}+C, &\qquad x\in\mathbb R\end{aligned}

Решение

Обозначим

Q=2\sin^2x-4\sin x\cos x+5\cos^2x

Введём две линейные формы

u=\sin x-2\cos x, \qquad v=2\sin x+\cos x

Для них

\begin{aligned} du&=(2\sin x+\cos x)\,dx\\ dv&=(2\cos x-\sin x)\,dx\end{aligned}

Кроме того,

\begin{aligned} u^2+1 &=(\sin x-2\cos x)^2+\sin^2x+\cos^2x=\\ &=2\sin^2x-4\sin x\cos x+5\cos^2x=Q,\\ 6-v^2 &=6-(2\sin x+\cos x)^2=\\ &=2\sin^2x-4\sin x\cos x+5\cos^2x=Q\end{aligned}

Отсюда

Q=u^2+1>0

при всех

x

. Кроме того,

6-v^2=Q>0

, поэтому

|v|<\sqrt6, \qquad \sqrt6+v>0, \qquad \sqrt6-v>0

Замены выбраны так, чтобы один и тот же знаменатель

Q

выражался через

u

или

v

, а числитель можно было представить как линейную комбинацию их производных. Ищем коэффициенты

A

B

в тождестве

\sin x+\cos x =A(2\sin x+\cos x)+B(2\cos x-\sin x)

Сравнение коэффициентов при

\sin x

\cos x

даёт

\begin{cases} 2A-B=1\\ A+2B=1 \end{cases} \qquad A=\dfrac{3}{5},\quad B=\dfrac{1}{5}

Получаем

(\sin x+\cos x)\,dx=\frac{3}{5}\,du+\frac{1}{5}\,dv

. Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{(\sin x+\cos x)\,dx}{Q} &=\dfrac{3}{5}\int\dfrac{du}{u^2+1} +\dfrac{1}{5}\int\dfrac{dv}{6-v^2}=\\ &=\dfrac{3}{5}\arctg u +\dfrac{1}{10\sqrt6} \ln\dfrac{\sqrt6+v}{\sqrt6-v}+C\end{aligned}

Возвращаясь к

x

, получаем

\begin{aligned} \int \dfrac{(\sin x+\cos x)\,dx} {2\sin^2x-4\sin x\cos x+5\cos^2x} &=\dfrac{3}{5}\arctg(\sin x-2\cos x)+\dfrac{1}{10\sqrt6} \ln\dfrac{\sqrt6+2\sin x+\cos x} {\sqrt6-2\sin x-\cos x}+C\end{aligned}