Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2059

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2059

Доказать, что∫dx(a+bcos⁡x)n=Asin⁡x(a+bcos⁡x)n−1+B∫dx(a+bcos⁡x)n−1+C∫dx(a+bcos⁡x)n−2(∣a∣≠∣b∣),\begin{aligned}
\int\frac{dx}{(a+b\cos x)^n}
&=\frac{A\sin x}{(a+b\cos x)^{n-1}}
+B\int\frac{dx}{(a+b\cos x)^{n-1}}\\
&\quad+C\int\frac{dx}{(a+b\cos x)^{n-2}}
\quad(|a|\ne|b|),
\end{aligned}и определить коэффициенты AA, BB и CC, если nn --- натуральное число, большее единицы.
Доказано:∫dx(a+bcos⁡x)n=Asin⁡x(a+bcos⁡x)n−1+B∫dx(a+bcos⁡x)n−1+C∫dx(a+bcos⁡x)n−2,\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(a+b\cos x)^n}
&=\dfrac{A\sin x}{(a+b\cos x)^{n-1}}
+B\int\dfrac{dx}{(a+b\cos x)^{n-1}}+C\int\dfrac{dx}{(a+b\cos x)^{n-2}},
\end{aligned}гдеA=−b(n−1)(a2−b2),B=a(2n−3)(n−1)(a2−b2),C=−n−2(n−1)(a2−b2)A=-\dfrac{b}{(n-1)(a^2-b^2)},
\qquad
B=\dfrac{a(2n-3)}{(n-1)(a^2-b^2)},
\qquad
C=-\dfrac{n-2}{(n-1)(a^2-b^2)}Формула справедлива для натурального n>1n>1 при ∣a∣≠∣b∣|a|\ne|b| на каждом промежутке, где a+bcos⁡x≠0a+b\cos x\ne0.

Доказательство

ОбозначимIm=∫dx(a+bcos⁡x)m,D=a+bcos⁡xI_m=\int\dfrac{dx}{(a+b\cos x)^m},
\qquad
D=a+b\cos xРассматриваем натуральное n>1n>1 и работаем на промежутках, где D=a+bcos⁡x≠0D=a+b\cos x\ne0, поскольку на этот знаменатель будем делить. По условию ∣a∣≠∣b∣|a|\ne|b|, поэтому a2−b2≠0a^2-b^2\ne0. Ищем коэффициенты A,B,CA,B,C в равенствеIn=Asin⁡xDn−1+BIn−1+CIn−2I_n=\dfrac{A\sin x}{D^{n-1}}+B I_{n-1}+C I_{n-2}Продифференцируем правую часть:ddx(Asin⁡xDn−1)=Acos⁡xDn−1+A(n−1)bsin⁡2xDn\begin{aligned}
\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{A\sin x}{D^{n-1}}\right)
&=\dfrac{A\cos x}{D^{n-1}}
+\dfrac{A(n-1)b\sin^2x}{D^n}
\end{aligned}После приведения всех слагаемых к знаменателю DnD^n получаем тождество1=Acos⁡x D+A(n−1)bsin⁡2x+BD+CD2\begin{aligned}
1={}&A\cos x\,D+A(n-1)b\sin^2x
+BD+CD^2
\end{aligned}Положим z=cos⁡xz=\cos x и используем sin⁡2x=1−z2\sin^2x=1-z^2. Тогда1=Aaz+Abz2+A(n−1)b(1−z2)+B(a+bz)+C(a+bz)2\begin{aligned}
1={}&Aaz+Abz^2+A(n-1)b(1-z^2)+B(a+bz)+C(a+bz)^2
\end{aligned}Сравнивая коэффициенты при 1,z,z21,z,z^2, находим{A(n−1)b+Ba+Ca2=1Aa+Bb+2Cab=0Ab(2−n)+Cb2=0\begin{cases}
A(n-1)b+Ba+Ca^2=1\\
Aa+Bb+2Cab=0\\
Ab(2-n)+Cb^2=0
\end{cases}При b≠0b\ne0 из последних двух уравнений системы последовательно получаемC=n−2bA,B=−a(2n−3)bAC=\dfrac{n-2}{b}A,
\qquad
B=-\dfrac{a(2n-3)}{b}AПосле подстановки этих выражений в первое уравнение получаемA(n−1)b2−a2b=1A(n-1)\dfrac{b^2-a^2}{b}=1ПоэтомуA=−b(n−1)(a2−b2)B=a(2n−3)(n−1)(a2−b2)C=−n−2(n−1)(a2−b2)\begin{aligned}
A&=-\dfrac{b}{(n-1)(a^2-b^2)}\\
B&=\dfrac{a(2n-3)}{(n-1)(a^2-b^2)}\\
C&=-\dfrac{n-2}{(n-1)(a^2-b^2)}
\end{aligned}Если b=0b=0, то условие даёт a≠0a\ne0. Те же коэффициенты принимают значенияA=0,B=2n−3(n−1)a,C=−n−2(n−1)a2A=0,
\qquad
B=\dfrac{2n-3}{(n-1)a},
\qquad
C=-\dfrac{n-2}{(n-1)a^2}Поскольку в этом случае D=aD=a, проверим равенство непосредственно:Ban−1+Can−2=2n−3(n−1)an−n−2(n−1)an=1an\begin{aligned}
\dfrac{B}{a^{n-1}}+\dfrac{C}{a^{n-2}}
&=\dfrac{2n-3}{(n-1)a^n}
-\dfrac{n-2}{(n-1)a^n}=\dfrac{1}{a^n}
\end{aligned}Следовательно, найденные коэффициенты подходят и при b=0b=0. Таким образом,In=−bsin⁡x(n−1)(a2−b2)(a+bcos⁡x)n−1+a(2n−3)(n−1)(a2−b2)In−1−n−2(n−1)(a2−b2)In−2\begin{aligned}
I_n
&=-\dfrac{b\sin x}
{(n-1)(a^2-b^2)(a+b\cos x)^{n-1}}+\dfrac{a(2n-3)}
{(n-1)(a^2-b^2)}I_{n-1}
-\dfrac{n-2}
{(n-1)(a^2-b^2)}I_{n-2}
\end{aligned}

Что и требовалось доказать

Демидович № 2059 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика